POINTS DOUBLES

Les courbes d'ordre m possédant - m (m — 3 ) points

doubles sont quarrables par les fonctions elliptiques.

Pour démontrer ce théorème, considérons une couibe

(6*9) d'ordre m, possédant - m (m — 3) points doubles D$ ce

nombre est égal à - (m — i ) ( tf* — a) — i , c'est-à-dire au

maximum du nombre des points doubles moins un. Pour déterminer une courbe d'ordre m — 2, il faut

- (m — 2) (m -h 1) conditions •, on pourra donc assujettir

une courbe d'ordre m — 2 à passer par les - m ( m — 3)

points D et par

autres points de la courbe ( 1 ), que nous appellerons À. Cette courbe contiendra dans sou équation un paramètre arbitraire X et pourra être représentée sous la forme

(2) f{x,jr)+\$[x9x) = o;

mais celte courbe (2) coupe ja courbe (1) d'abord en m (m — 3) points confondus avec les points doubles D qui comptent pour deux, et en m — 2 points A, ce qui fa il en tout m* — 2 m — 2 points ; or les courbes ( 1 ) et ( 2 ) devant se couper en m (m — 2) points, il restera deux points que j'appellerai B sur la courbe ( 1 ) et par lesquels passera encore la courbe (2). Nous supposerons les points À fixes ; les points 6 dépendront alors de la valeur attribuée à X; nous les déterminerons comme il suit : Par l'origine, imaginons une série de droites

passant par les intersections A,B, D des courbes ( 1) et (2) \ les coefficients angulaires a seront racines de l'équation

(4) (.ri — «*i)(ri — «*i)(r» — **»)••• -0 ou & = <>,

dans laquelle (Xj,/i), (xitj *), ••• sont les solutions communes à ( i) et (a); on peut supposer que xxyx et x%y% sont les coordonnées des points 6. Alors on voit: i° que l'équation (4) est la résultante de ( 1), (2) et (3): a0 que celte résultante est divisible par le facteur

que nous représenterons par

(5) Aa, + 2B* + C = o ou R, = 0,

et qu'il sera facile de former. Ce facteur fera connaître les coefficients angulaires des droites allant de l'origine aux points B •, 3° la résultante R = o pouvant s'obtenir en éliminante entre

f[xy'jLx) = o et y (x, a.r) «+- X>j/(:r,ax) = O

sera de degré tn par rapport à X; mais comme, dans cette résultante, x%%y%, xk,yk, . . • sont indépendants de X, le facteur Àa1 -f- aBa -+- C le contiendra seul et par suite l'équation (5) sera du degré m en X.

On tire de (5)

en ne considérant que Tune des valeurs de a ; la valeur correspondante de x s'obtiendra par les considérations suivantes : soient ai;- et bq les coefficients de xy dans <p et ty et C|;- = a^ •+- X ii;-, faisons varier a^ fei;-, auy bit de manière à ne pas altérer la résultante Rt = o j les auanlités x ne varieront pas, et Ton aura

dR, ,„ dR, ^

— Je-— "c" + —dur tiCu-°t

( 63. ) celte dernière formule peut s'écrire

xtyiddj -4- a* y1 dCki = o, et l'on en conclut

/ \ dR' t ; dR« k i

de là plusieurs manières de se procurer x en fonction

rationnelle de a et de \ par exemple au moyen de

l'équation

dR, dR,

de,.'* ~~dCM'

Maintenant revenons à la formule (6), pour étudier la quantité B1 — AC placée sous le radical et la décomposer en facteurs. Pour cela annulons-la : l'équation Rj = o aura une racine double; les droites allant de l'origine aux points B seront confondues, ce qui peut avoir lieu : i° soit parce que les points B sont en ligne droite avec l'origine; a0 soit parce que les points B sont confondus.

i° Supposons d'abord les points B en ligue droite avec l'origine, x doit être indéterminé; donc, dans les formules (7), les -r— - doivent être nuls. Or on a

etc.//

dR, __ ^ dR, dfy __ ^1 dR, , __ dX - 2-dC^-oT - 2idC0 v~~OÎ

mais, l'équation (5) ayant une racine double, on a aussi

dR,

■d7 = oî

1 dR, at» A

or, quand on pose -p- = oouAa-+-13 = o, ou« = — - «

Ri se réduit à