B' — AC R

en égalant -r— a zéro, on a alors

donc enfln B* — AC s'annule en même temps que sa dérivée pour les valeurs X pour lesquelles deux points B sont en ligne droite avec l'origine^ B* — AC aura donc autant de facteurs doubles qu'il y aura de valeurs de X pour lesquelles les points B sont en ligne droite avec l'origine, et l'on pourra écrire

V/B2 — AC = e(X)Y/V.

2° Supposons maintenant les points B confondus, les valeurs de X pour lesquelles cette circonstance se présentera s'obtiendront en exprimant que les courbes (i) et (2) se touchent : alors aux points de contact on aura

ûx \dx cUy d/" \dj i\y) àz ' \âz dz/'

en égalant ces rapports à L, en Cassant les dénomina-

teurs, puis en éliminant p et X, on trouve

J désignant le déterminant de/*, <y, i}>. L'équation (8) est celle de la jacobienne des courbesy*= o, y = o, ^ = 05 or on sait que (Salmon, Leçons d1 Algèbre supérieure, traduites par Bazin, p. 72) si les courbes (f = o, ty = o sont de même degré : i° la jacobienne passe par les points communs aux trois courbes •, 20 s\f=o a un point singulier en D, la jacobienne y a un point singulier avec les mômes tangentes et par conséquent coupe f = o en six points confondus en Dj 3° la jacobienne touche la

courbe /'aux points A et par conséquent y coupe f en deux points confondus.

Or la jacobienne est de degré

elle coupe/ = o en m (3 m — 7) points dont il faut défalquer les points D au nombre de

et les points À au nombre de 2 (m — 2) 5 il reste donc

points où la jacobienne peut rencontrer /= o et par suite où la courbe (2) peut toucher (1), et par suite quatre valeurs de X pour lesquelles Bf — 4 AC s'annule pa r le fait du contact de(i) et (2). Le polynôme V est donc du quatrième degré en X; d'où il résulte que l'a et par suite Y x et Yy d'un point variable B de la courbe f= o peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre X et d'un radical de la forme

y7 V 4- «V -+- £Xa -f- 7à -f 9,

ce qui démontre le théorème énoncé plus haut.

La première démonstration de ce théorème est due à M. Clebsch (Journal de Crelle, t. 64, p. 210).

Remarque. — On pourra représenter les coordonnées 07, y de la courbe (1) sous la forme

.r = F[x,v/li— X')(i-*'X2)],

r==*[>,v/Ti-^)i'-Aa>-1j]'

à l'aide d'une transformation rationnelle opérée sur la variable X$ si Ton fait alors X = snl, on aura

a?=G(snf) -j-sn'fH(snf) jr = K(snf) -h sn';L(sDf ),

( 634 ) G, H, K, L désignant des fonctions rationnelles. En effet, le radical entrera si l'on veut dans x et y sous forme linéaire 5 or il est égal à entant, c'est-à-dire à su' t.

Ainsi, quand une courbe a son maximum de points doubles moins 1, ses coordonnées sont des fonctions rationnelles d'un même sinus amplitude et de sa dérivée, ou, si Ton veut encore, sont des fonctions doublement périodiques de même période d'une même variable

QUELQUES COURBES REMARQUABLES DONT l'ÊQUÀTIOH DÉPEND DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Lorsque Ton cherche une courbe plane dont le rayon de courbure soit proportionnel à l'inverse de l'abscisse, on est conduit à l'équation

Y = I — dx.

Cette courbe est une élastique, on la rencontre encore quand on cherche parmi les courbes isopérimètres celle qui engendre le volume de révolution minimum \ eu transformant convenablement les coordonnées, on peut

prendre c = o : alors on a —■ = o, quand x = o, et

JÇ x*dx o \l a* — x*

OU

__ Ç* x?dx

=i VFfRT

Si l'on fait - = t, on a a

Çl nt>r/t

or, en prenant le module A égal à — > en sorte que/c9 = À'J,

on a

Jl

cn'0 = — -^ — \Z(» — cn*9J C1 "^ cn'G)^

si donc on fait

f = cnô, dt=z — 1— )J[i — f) (i -+-*') cfô,

on aura

« — ^ôcna0 = y— l (i-sn'Ô)rfO;

la limite inférieure est d'ailleurs arbitraire si Ton choisit convenablement l'origine : on a alors

.r = a cn0.

La courbe de M. Delaunay engendrée par le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser sur une droite a pour équation

(x*±b*)dx dy = v '

yV^-r3 — {x*±b2y

son abscisse et son ordonnée s'exprimeront facilement aussi par les fonctions elliptiques. Dans cette courbe, la moyenne harmonique du rayon de courbure et de la normale est constante.

SUE LE MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR d'un POINT.

Les équations du mouvement d'un corps solide qui présente un point fixe et qui n'est sollicité par aucune force extérieure sont, comme on sait,

aJ=(b-c)^

(i) \ bJ=(C-à)7>,

À, 6, C sont les moments d'inertie principaux relatifs au point fixe-, p, q, r sont les composantes de la rotation instantanée autour des axes principaux relatifs au même point \ enfin, t est le temps.

L'analogie entre les équations (i) et celles qui lient entre eux snx, cnx, ànx et leurs dérivées est telle, que Ton est tenté de poser

p = *cng(t — t), q = $sng[t — t), r=idng(t — t),

a, (3, y, g, t et le module k désignant des constantes arbitraires; et Ton satisfera effectivement aux formules (i)

si, observant que

en' x z= — sn.r dnx,

sn'x = cnxdnx> dn'x = — A** snxrnx,

on prend