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Ces formules, auxquelles on est conduit ainsi par la méthode des coefficients indéterminés, fourniront pour a, j3, y des valeurs réelles si Ton a A > B ]> C, ce qu'il est toujours permis de supposer.
Les trois arbitraires de la solution sont g, A", t. On peut faire abstraction1 de la dernière t, et, en comptant convenablement le temps, poser
(a) p = *cngt, q=Psngt, r=ydngt.
Les formules (i) sont donc intégrées.
Mais, pour résoudre complètement le problème, il ne suffit pas de connaître/?, qy r, il faut encore calculer les valeurs des angles 0, y, vp, qui, dans les formules de transformation de coordonnées d'Euler, servent à définir la position des axes principaux d'inertie par rapport à trois axes fixes passant au point fixe. Ou démontre dans les Traités de Mécanique que Ton a
dû dB
p = sin©sin0~ -+- cos«-r-> r T dt T dt
. dû . dO
(3) \ <j= cosçsinô — — siny-T- >
do m dû
r = ~ H-cosO-pdt dt
Prenons le plan du maximum des aires, ou plan invariable, pour plan des xy. On sait que Apy Bq, Cr sont les moments des quantités de mouvement relatives aux axes principaux. Si donc on désigne par G la constante
des aires yjA*p* -f- B1^* -H Cf/*, on aura
A/? = Gcos(z,A), B<7 = Gcos(z, B), C/- = Gcos(s, C),
ou
bien
Ap = G sinOsin<p, (4) { B<7 = GsinÔcos?,
O = Gcos0.
La constante G est facile à calculer au moyen de k et de g. De ces trois formules on tire 9 et <j; il reste à calculer l'angle <//. Pour cela, entre les formules (3), éli-
dB minons -7- » nous aurons dt
.' dû p sin <p -h q cosf = sin 9 — -
ou
T sinô
Éliminons <p et 9 de là, au moyen des formules (4). nous aurons
ou enfln
(5) ^ = GAa-cn^4-B^sn^^ • v ; Y A'a'cn'gï-t-B'p'sn1^
Posons, pour abréger
(6) £' = *; nous aurons alors
G Aa»cnax-f- Bfi'sn'jr ,
dy = «#.
T £ À,a,«n'.r-i-B,p2sn2:r
Remplaçons en* a: par 1 — sn*;r, et a, (i, y par leurs valeurs (a); nous aurons
d,= G B-C + (A-B)«n'* Y # A(B — C) + C(A- Bjsn'x ' Posons
y — 1 sn y — 1 a 9
C A — B et a sera réel, puisque sna est une fonction impaire;
(639) nous aurons alors
— -h sn'x
ou
dy = — dx9
„ sn*.r sn*tf i/ — i
</$ = — ^—-<ix9
£** sn'x — sn'ay — *
ce que Ton peut écrire
,0. , G /*Asn*;r — Csn'a^ — ! .
o L,A «y sn'x — sn'a y — i
Désignons par F(x) la quantité placée sous le signe y, en sorte que
Nous allons, pour pouvoir intégrer, décomposer F (or) en éléments simples, par la méthode de M. Hermite. Nous désignerons par T l'intégrale de
prise le long d'un parallélogramme de côtés 2K et
aK\/ — 1 (périodes de la fonction sna#). Cette quantité r est indépendante de x\ elle est égale a la somme des résidus de la fonction f(z) pris à l'intérieur du parallélogramme en question. Si Ton suppose que ce parallélogramme contienne le point .r, le résidu relatif à ce point sera F (a:),' quant aux résidus relatifs aux autres
infinis a>J — l et — ayj — 1 , ils sont de la forme
H'(fly/~ — x) ll{a^^n — x) *
multipliée par la limite de
(x — a y/ — 1) (AsnT.r — Csn»/*^/ — i ) sn'a; — sn*« ^ — i
pourx = a\j — i j or cette limite est
(A — C)sn»ay/~ (A — C) un' a if^i ou
2sna y/ — i sn'ûy7 — * asm» ^ — j cua^ — 1 dna^ — 1 ainsi donc on a
A sn'jf — Csn'fl y/ i
sn2x — sd2ûv/ — i
^ f iï(gK/ZrT—x) (A — C)sn'/7y/~
Il (ay7-— * ~ ■*) sn a y/— icna y7 — i dru/y/ — i
iHM^V^Th-^) (A — Cjsn'av7^
2H^v^— i+x) snc7^— i cna ^/— i dnc/y/— i ou bien
, . Asn*.r — CsnVi/ — ï
sn2d7— sn'# ^/ — ï
en ay — ï dnay/ — ï
Substituant celte valeur dans (8), on a
(9) { *AC* 2 ^AC «"«V^^dn*!^
X log -^ SL—i.
Cette formule se simplifie beaucoup quand on remplace
G par sa valeur. On a
= À'a'cn'x -4- B'p'sn2* -f- C^'dn»*;
si (ce qui est permis, puisque G est constant) on fait X = o, on a
Ga — AV -hCV
et, en remplaçant a et y par leurs valeurs (a),
, ABC AJHfB — CJ-^-CiA— B) 6 A— C (A— B)(B— C) ■
d'un autre côté, si, à l'aide de (7), on calcule en a ^ — 1 et dn a ^ — 1, et si alors on forme la quantité
1 G(A — C) sna v7 T
a éfAC en a y/ — idna^ — 1
on la trouve, réductions faites, égale è -- — \ il en résulte que la formule (9) se réduit a
Grx J— r 1 h(j? — a\l — 1) $AC 2 ° H^-hay7 — ij
On peut introduire, comme l'a fait Jacobi, la fonction 6 à la place de H, en observant qu'à un facteur constant près on a
Si donc on fait a -+- K' = £, on aura, en négligeant une constante,
(IO) Ù = ^+I l0g-H —=z=Lt
Stchm. — v//?., H. 41
Rueb, en modi Gant des formules données par Legendre, était parvenu par une tout autre voie à ces résultats-, Jacobi est allé plus loin en calculant encore les lignes trigonométriques de vp de manière à revenir, au moyen des formules d'EuIer, aux neuf cosinus qui définissent la position du corps. Indiquons rapidement la marche qu'il a suivie.
La formule (10), en ayant égard à (6), devient
*-ac 2 ^e^ + ^—iy
si Ton pose
sf11^ . e(* — çv'"11^) Gr
Vi = loi» — - ^ — - = n,
on aura
et^se composera d'une partie proportionnelle au temps (et Ton pourra appeler la quantité n le moyen mouvement) et d'une partie ^ dont nous allons calculer le sinus et le cosinus. On a
et Ton en conclut facilement cost^ et sincpj. Pour plus de développements, nous renverrons au Mémoire de Jacobi inséré dans ses Mathematische Werke, t. XI, p. i3c;, écrit en français.
