MOUVEMENT DU PENDULE CONIQUE

Prenons pour axe des z la verticale descendante du point de suspension, pour plan des xj le plan horizontal passant par le même point. Soient r la longueur du

(643 ) pendule, 0 sa colatitude, ty sa longitude : le théorème des forces vives donnera

(i) Wtt) -+-^sinaÔ f-~ J = 2£rcos0-*-a,

et celui des aires

a et c sont deux constantes dont nous allons fixer la valeur. Soient s>\ = zgh0 la vitesse initiale du mobile, h sa hauteur initiale au-dessus du point le plus bas; en faisant t = o dans (i), nous aurons

p\ = 2grcosGd -+- a, ou

*gh9 = ngh -h a ; d'où

Désignons par p l'angle que f0 fait avec l'horizon. En faisant t = o, 0 = 0O dans (a), nous aurons

"sin,*«(5)rcj

mais rsin0o (-jH est égal * focosjx et rsin0o est égal à ^r1 — A*, on a donc

(4) czrry/r* — AJ P, COS j* = ^2 #/*, ( 7* — /*a) COSfA.

Maintenant, entre (i) et (2), éliminons -—-> nous aurons

/</ô\* (2grcos0 -4- a J/^sin1© — c1

\di) ~~ r sin'Ô "

Si nous posons (6) r cos 0 = 2,

nous aurons

ou, en vertu de (3) et (4),

** (s?)' = *g^* + *• — *) (>* — *) — M** - A5) cos>].

Si l'on substitue à z, dans le second membre, — oo , — r, A, -f- r, on obtient des résultats ayant pour signes -f-, — , -+-, — ; on peut donc poser

a, (3, y désignant des quantités réelles dont deux sont comprises entre — r et -f- r, et dont la troisième est négative et moindre que — r.

On sait que, pour ramener l'équation (8) à celle qui définit la fonction elliptique, il faut poser z = a -f- pu* ; posons donc

(6) * = a -h^sn'wf ;

nous aurons, au lieu de (8), en écrivant s au lieu de sn tùt et en désignant par A le module inconnu de sno>/9

Cette formule aura lieu, quel que soit 5, si

( 645 ) En éliminant o) par division, on en tire

k* —p k* pt

d'où, égalant les valeurs de A%

En résolvant par rapport à p, on trouve — (a — (3) ou — (a — y); alors A* = — —ou ?• Pour que A

soit réel, il faudra que a — (3 et a — y soient de même signe, ce à quoi on arrivera en prenant pour a la racine positive la plus grande. Enfin, pour que k soit moindre

que l'unité, on prendra p = — (a — /3), A* = » et

l'on supposera que y soit la plus petite des racines; alors on aura

la formule (9) donne alors

* = a — (a — p) sn'oif,

ou bien

z = a cn'*>/ -4- psn'wl,

ou, en vertu de (6),

(11) rcos0 = acn*»f-f- psn'u/.

Maintenant, la formule (2) donne

dty c

dt ""/^sin'fl* et, en vertu de (n),

r2 — (acn'wf 4- psn'wf)*

cdt I 1 1

ar \r — a en7 bit — p*a3«f r -+- a en1 ul -4- p sa

(646) On a donc enfin

— al a

sn'w/ '

I i ' "sn'af

Les deux intégrales qui figurent ici sont de seconde espèce; — (^ — ^0) s© composera donc d'un terme proportionnel à £ et de termes périodiques de la forme

Si donc on imprimait au pendule un mouvement uniforme de rotation convenable, son mouvement relatif serait périodique.