Soit, par exemple

y* = ax*.

On aura

/// ( nyn~x -4- apxP~x -~ ) 4- apxP~x — nr"~l -J- — o. \ «jr / * dr.

Si Ton élimine a, après avoir multiplié la dernière équation para:, on aura, en divisant par j -""*,

*/x / dx

m [nx + />j J- — ** -£- -f- />/ ~ o,

ou

(/w/y — nx) — -f- w/ix + />r = o,

équation homogène que Ton sait intégrer.

En particulier, si Ton suppose n = p = 1, cVsl-à-dire si Ion demande les trajectoires des droites représentées

par l'équation

yz=ax,

l'équation différentielle sera

m (xdx -f- ydy) -+- ydx — xdy = o; divisée par x'-f-y* et intégrée, elle donne

m\[xi + y2y = arctang' — h C,

et, en prenant des coordonnées polaires,

m\r— 0-4-C, ou r=e m —cem.

Donc les courbes qui coupent sous le même angle toutes les droites menées par l'origine sont des spirales logarithmiques semblables, ayant cette origine pour point asymplolique.

519. Le problème des trajectoires se simplifie quand l'angle donné est droit. Dans ce cas, les trajectoires sont dites orthogonales, et l'équation différentielle résulte de l'élimination de a entre les deux équations

F (*, r, a) = o, — dy - — dx = o .

Ainsi, dans l'exemple du n° 518, il faut éliminer a

entre les équations

dy yH = axPy ny*~l -f- paxP~x ~ = o,

ce qui donne l'équation

dy

dont l'intégrale est

Suivant que n et p seront de même signe ou de signes contraires, cette équation représentera une infinité d'ellipses ou d'hyperboles semblables et concentriques.

Si l'on se proposait de chercher les trajectoires orthogonales des courbes données par l'équation

on devrait évidemment retrouver l'équation

yn = axP

dans laquelle a est une constante arbitraire.

ÉQUATION DU PREMIER ORDRE ET d'un DEGRÉ QUELCONQUE. CAS OU L'ÉQUATION NE CONTIENT PAS EXPLICITEMENT

x -et y.