Si l'équation se réduit à

et qu'on puisse la résoudre par rapport à py on aura plusieurs valeurs de p :

p=za, p = *'9 p = a", . . ;

de là les solutions

y = olx -4- C, y = x'x 4- C\ . . . ,

comprises dans l'équation unique

(y — ax — C) (y — olx — C) ( y — *"x — C") . . . = o.

On ne diminue pas la généralité de cette intégrale en admettant que la même constante arbitraire C entre dans tous les facteurs; l'équation précédente peut alors s'écrire

ou bien

QUARANTE ET UNIEME LEÇON. 5j

résultat qu'on obtiendrait encore en éliminant a entre les

équations

F(a) = Of y = ax + C.

Exemple.

on aura

d'où

y = ± ax -4- C.

ÉQUATIONS QUI NE RENFERMENT PAS l'uNB DES VARIABLES.

522. Supposons maintenant que l'équation différentielle ne renferme pas j- et qu'elle soit de la forme

dy Si Ton peut la résoudre par rapport à ~ et en tirer

on aura y = \f (x) dx, et le problème sera ramené à une quadrature.

Exemples.

On en tire

f=±l sjaxdœ = ± - x \jax -h C, OU

dy* . x dy

2° ~ • — la + x) — -{-ax = o.

ax* ax

On déduit de cette équation

d'où les deux solutions

xa

y — ax -+- C, ^ = h C.

523. Si l'équation ne peut pas être résolue par rapport à, p mais qu'on la puisse résoudre par rapport à x, on aura

d'où

dy = pdx=p.df(p),

y=fp.df(P) + C,

ou

(2) y=pf{p)-ff(p)dp + Q\

on aura l'intégrale en éliminant p entre les équations (i) et (a).

524. Si l'équation différentielle ne contient pas x et qu'on puisse la résoudre par rapport a y9 on aura

y—f(ph d*= - — = — - — '

d'où