Prenons pour exemple l'équation

(i) jr = *f(p) + l[p)f

qui ne renferme x et j* qu'au premier degré. On a

pdx = xf'[p) dp -hf(p) dx -4- <?' (p) dj?, on

dx ■ f'[p) x=- *'{P) -

dp ' f(p) — p f[p)-p

équation qui donne (511 )

(2) *=-* J/W-P\ J^^cJApy-Pfy + cL

En éliminant p entre les équations (x) et (2), on aura l'intégrale -demandée. Ordinairement celte élimination n'est pas praticable, parce que l'équation (2) contient des fonctions transcendantes de p $ mais alors, en donnant à p une suite de valeurs arbitraires, les équations (1) et (2) détermineront les valeurs correspondantes de x ely.

527. Quand f (p) = p, l'équation (2) est illusoire. Mais alors l'équation (1) devient l'équation de Ciairaut,

(a) jr=P* + ?{p)9

et en différentiant par rapport à x, on aura

pdx = pdx -+- xdp -f- y' (p) dp,

dp [x -f- y' (/?)] = o.

Cette équation peut être satisfaite de deux manières :

6o cours d'analyse.

i° en posant

dp — o, d'où p = C,

et, en substituant celte valeur de p dans (a),

2° en posant

on en déduira pour/? une valeur f(x) et Ton aura

relation qui ne contient aucune constante arbitraire et qui ne peut être déduite de l'intégrale générale en donnant à la constante une valeur particulière.

C'est ce qu'on nomme une solution singulière.