Toute équation différentielle du premier ordre

-f =f(xy y), ou Mdx-{-iï<fy = o dx

admet une intégrale contenant une constante arbitraire, c'est-à-dire qu'il existe toujours une équation contenant je, y et une constante arbitraire telle, qu'en la différentiant et éliminant la constante, on retrouve l'équation proposée.

En effet, l'intégration de l'équation proposée consiste à trouver une fonction de x> désignée parj', telle, que sa dérivée soit égale hf(x,y), ou encore, qu'en donnant à x l'accroissement infiniment petit dx, l'accroissement correspondant*/^ puisse être regardé comme égalkf(x,y)dv. Puisque l'équation différentielle dy=f[x, y) dx tic détermine que l'accroissement dey, on peut se donner arbitrairement la valeur de y pour une valeur particulière de x. Si l'on prend y ■= b pour x = a, f (a, b) h sera l'accroissement infiniment petit dey lorsque x passera de la valeur a à une valeur infiniment voisine a -f- A* De même, si l'on pose

a -+- h=a* et b* — b -+-/(«, b)h9 f(a', b') h sera l'accroissement de y lorsque x passera

de a' à a' -\- h. En continuant ainsi à faire croître x par degrés insensibles jusqi^à une valeur quelconque, l'équation différentielle déterminera les accroissements successifs de y^ de sorte que la valeur dey correspondant à chaque valeur de x sera complètement déterminée. Par conséquent y sera une certaine fonction de #, et cette fonction dépendra nécessairement de la constante arbitraire b -, ce qu'il fallait démontrer.

IL EXISTE UN FACTEUR PROPRE A RENDRE DIFFÉRENTIELLE EXACTE LE PREMIER MEMBRE d'uNE ÉQUATION DU PREMIER ORDRE.