On vient de démontrer que l'équation différentielle

(i) M<ix + Nrfy = o

admet toujours une intégrale contenant une constante arbitraire C. Cette équation intégrale, résolue par rapport à C, prendra la forme

« étant une fonction de x et y qui ne renferme pas C. On

tire de l'équation (a)

du

du , du , „ , dy dx

— dx-\-—dy = o, d'où -- = — — • dx dy dx du

dy M

Or, l'équation (i) donne -f- = — iç* On doit donc avoir

du

* ; du N

dP

Cette équation doit être identique, car s'il en était autrement, elle établirait entre les variables une relation en vertu de laquelle y serait une fonction de x sans con-

i • • */r ivr d*1 du » *•

stante arbilraire, puisque M, JN, — » — n en contiennent

pas. Or, à cause de l' équation u=C, y doit dépendre de x et de la constante C.

L'identité (3) peut être mise sous la forme

du

du

dx M~ =

en désignant par v chacun de ces quotients. On tire de là

dit du

donc

du=v (Mrfx + Nrf/).

Ainsi, i7 existe toujours un facteur y, fonction de x et de y, propre à rendre le premier membre de V équation une différentielle exacte.

Quand on saura trouver ce facteur et l'intégrale u de la différentielle totale y (Mdx -f- Ndv), u = C sera l'intégrale de l'équation (i).