existe une infinité de facteurs propres à rendre

le premier membre de l'équation (i) une différentielle

exacte. En effet, si nous multiplions les deux membres

de l'équation

v(Hdx -f- Nrfr) =du

par une fonction quelconque de m, y (u), il vient vy(u) (Mdx -f Nd[j') = y(u)du =z dfy (u) du.

Ainsi, ^(w) (Mdx-t-Ndj) est encore une différentielle exacte, et le facteur v<f (u) jouit de la même propriété que le facteur u.

Exemple, xdy — ydx = o. Cette équation donne

dr dr % y

— = — > d'où y = Car, ou - = C = u.

jr x x

Le facteur, y, le plus simple qui rend xdy — ydx une dif-

fërentiellle exacte est donc -^ Tout autre facteur, v<f{u),

est de la forme -o(- •

x1 * \xj

Ainsi © (u) = — donne le facteur — et

T N ' u XV

dy dx , . y

o(u) = r donne le facteur — r et

n ' i + tf1 x1 -+- y*

.rdy — ydx . y

— ^ — ^ — = a arc tang -•

533. Réciproquement tout facteur Y propre à rendre Mdx -i-Ndy une différentielle exacte est de la forme i>©(w). En effet, soit

V(Mdx-hNdy) = dV:

on a

v(Mdx-+-Ndy) = du; donc

(i) d\J = - du.

Soit u = f^xyy). Si l'on tire de cette équation la valeur de y en fonction de u et de x} et qu'on la porte dans la valeur de U, on aura

U = <l> ( w, x ), dU = -r- du -\- -¥■ dx :

du dx

cette expression de la différentielle totale dU doit être

identique à sa valeur (i); or cela exige que ~- soit nul,

et que la fonction ^, indépendante de xy soit une simple

fonction de u\ il en sera de même pour sa dérivée -^->

qui est égale à - •

534. D'une manière générale, w, U, q étant des fonctions cTun nombre quelconque de variables, si Von a

Stcrm. — An., II. 5

d\] = qdu, on aurai] = <p(u); car en éliminant une

de ces variables, x par exemple, on pourrait écrire

U =^ty(u,y, «...).

Or, d\J ne peut se réduire identiquement à qdu que si ty est indépendant de yy s, . . . et se réduit à une fonction de u.

535. Si deux facteurs V et v rendent différentielle exacte V expression M<te4-Nd^, leur rapport égalé à une constante sera V intégrale de Véquation

Carde

-=C, ou <p(a)=C,

on tire u = c.