EXEMPLES DE SOLUTIONS SINGULIÈRES
xdx -\-ydy = dy ^ ]x* -h y* — a*.
Divisons par \jx% -h y* — <**, il vient
? xdx -\-ydy . /-—
dont l'intégrale est
/ + c = y7*1 ■+- X2 — a*t ou
açy 4- ^ ■+- à1 — x* = o ;
on aura donc
d¥ dF
de J * «(p
Cette dernière équation ne conduirait qu'à la valeur illusoire y = qo . La première donne c = — y, et, par suite,
solution singulière. Cette solution, qui représente une circonférence, n'est pas comprise dans l'intégrale générale, puisque celle-ci représente une suite de paraboles.
Comme le facteur v est — ==, on voit bien que
la solution singulière correspond à v = oo .
543. a° Trouver la courbe dont la normale a une longueur constante.
L'équation différentielle est d'où
et, par suite,
(a) (x-cf+j'^û3,
équation d'un cercle. Pour avoir les solutions singulières, il faut poser
de x — c ,
-r= = = o ; d où x =r e ,
av y
dy et, par suite, (3) jr* = aK
On obtiendrait encore cette solution en égalant à Tinfini le facteur . par lequel il faut multiplier l'é-
quation proposée pour séparer les variables.
Il est à remarquer que les deux droites représentées par l'équation (3) sont tangentes à toutes les circonférences que représente l'intégrale générale (a),
544. 3° Trouver une courbe dont les tangentes soient à une distance constante, a, de V origine.
L'équation de la tangente menée par un point quelconque (Xyj) àe la courbe, étant
l'équation différentielle du problème sera
LrzHfL
ou
(1) y = px -+- a ^ i-f- /»*.
En différentiant par rapport à x, on a
o = dp( x-+- ap Y
équation qui se décompose en deux équations :
. aP
dp = oy x H — ■ = o.
La première donne p = c, d'où
(a) / = fxn-fl^i + c2.
La seconde donne
cette valeur étant portée dans l'équation (i), il en résulte
yi -\-p*
élevant au carré et ajoutant les équations (3) et (4)? on a
(5) x*+jr*=,a\
La solution générale (a) représente une infinité dr droites, et la solution singulière (5) une circonférence à laquelle toutes ces droites sont tangentes.
Les variables se séparent immédiatement, et Ton trouve pour l'intégrale générale
(2) (/ — a)x~tt — (i — n){x — e) = o. Pour obtenir les solutions singulières, on posera
dC l I \m
d'où l'on déduit, en supposant n^> o,
Cette équation représente une solution singulière si n est<^i, car, dans ce cas, on ne peut pas déduire jr = a de l'intégrale générale. Si n est > i, y = a n' est plus une solution singulière, puisque l'équation intégrale étant mise sous la forme
on obtient y = a en faisant c = oo . Enfin, si n = i, l'intégrale générale est y — a = e<?x, qui devient y = a pour c = o, et il n'y a pas non plus, alors, de solution singulière.
On verra facilement que l'hypothèse n<^one donne aucune solution singulière.
546. 5° Trouver une courbe telle, que le produit des perpendiculaires abaissées de deux points Jixes F et F' sur la tangente soit constant et égal à b*.
Fig 109. Prenons pour axes la
droite FF' et une perpendiculaire élevée au milieu de cette ligner L'équation de la tangente est
et, par suite, les perpendiculaires abaissées des points donnés sur la tangente seront, en désignant OF par c,
