OT

, OS = 7 — px\

d'où, à cause de OT -f-OS =TS , On aura donc

1 v aP

puis, en différentîant,

Vi -+-/»"'

D'abord dp = o donne p = c, et, par suite,

(s) y = CX +

l'intégrale générale représente donc une infinité de droites. La solution singulière sera donnée par l'équation

Si Ton substitue cette valeur dans l'équation (i), on aura

ap ap

éliminant p, on aura

(3) xï + yï = aJ.

Celle courbe est Tépicycloïde obtenue en faisant rouler un cercle dans un autre cercle de rayon quadruple. En effet, soient M le point de la circonférence mobile qui était placé primitivement en A, et K le point de contact actuel. On sait que KM est la normale de l'épicycloïde au point M, et, par suite, que MH est la tangente. Or, l'angle THK,

qui, dans le petit cercle, a pour mesure - arc KM ou - AK,

aura pour mesure aÀK dans le grand cercle. Donc l'angle THK est double de l'angle AOK, et le triangle TOH est isocèle. On a donc OH= HT. 11 résulte de là qu'on a également OH = HS; et, par suite, TS = aOH = OK. Ainsi, TS conserve bien une grandeur constante.

CXfE SOLUTION SINGULIÈRE REPRÉSENTE LENVELOPPE DES COURBES DONNÉES PAR l'iNTÉGRALE GÉNÉRALE.

548. On a dû remarquer que dans tous les exemples traités plus haut (542 et suiv.), la solution singulière était l'enveloppe des lignes représentées par l'intégrale

générale. Nous allons démontrer qu'il doit toujours en être ainsi. Soit

l'intégrale générale. Elle représente une suite de courbes dont l'enveloppe s'obtient (I, 247) en éliminant c entre cette équation et sa dérivée par rapport à c. Or, c'est précisément le calcul qui fournit la solution singulière. Le théorème est donc démontré

Par chaque point de la courbe A qui représente la solution singulière passe l'une des lignes B comprises

dans l'intégrale générale. Or, en ce point ~ a la même

valeur pour les deux courbes A et B, puisque leurs équations satisfont toutes deux à l'équation différentielle. Donc on peut obtenir l'équation de la courbe qui représente l'intégrale singulière en écrivant que, pour chacun de ses points, l'équation différentielle proposée donne

deux valeurs égales pour -j^*

EXERCICES

Solution singulière :

dy% dy

satisfont à l'équation différentielle 7 •£-*-+■ ax:£. ~J = °«

Ces intégrales sont-elles singulières, ou particulières ?

Solution : La première est une solution particulière, et la seconde une solution singulière.

Solution singulière : y * = i -h x2.