TOUTE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ADMET UNE INTÉGRALE

549. Considérons une équation différentielle de l'ordre m résolue par rapport à la dérivée de Tordre le plus élevé

. . dmy J dy r/ar r/"-,r\

<"> ~d& =/Vr' '■ TS 7Â? ' ' ' ' ' u?=ï) '

Cette équation détermine — -— ou d <tj-| ? quand on * i i i (lX dm~*y .

connaît les valeurs dejp, — ? • • •* ml pour une valeur

de a\ On peut donc se donner, pour x = a, des valeurs

arbitraires J, 6', bn \ . . . , &<•-*> de r, -£,--^,..., - — l .

' ' * ' J ' dx do:7 dx—*

Maintenant, si Ton donne à x un accroissement dx, les accroissements dey et de ses dérivées seront

dy=b'dx, d^L = bndx, ..., d^^ = bC^lUb9

dx dx" 2

dm~~% y et Faccroissement de — — y sera ensuite donné par l'équation (î).

On déterminera de même la valeur dej^et de ses dérivées pour a; = a -f- acte, X = a + Zdxy .... Ainsi, les valeurs successives de y sont déterminées, ei, par conséquent, r dépend de x et des m constantes l>, £',...,

Stubm. — An.t II. G

550. On peut encore établir l'existence de l'intégrale, au moyen du développement de y en série. En diffërentîant l'équation (i), on obtiendra successivement

les coefficients différentiels -7 — -V> -7 — -> • • •> en fonction

, dr

da?—1

: soit

dm+*r

dm^y dx"

dz"-*

daf1- «

Mais on a (I, 122)

Remplaçant cj> (x) par^, cp (a) par 6,cj»' (a) par //. . on aura donc

/.KMV..,^-0)

On voit encore que la valeur de y renferme m constantes arbitraires.

En faisant a = o, on aurait le développement de l'intégrale suivant les puissances ascendantes de x : mais cette valeur pourrait rendre inunie la fonction, ou quelques-unes de ses dérivées, et le développement deviendrait alors impossible sous cette forme. Il vaut donc mieux conserver la série ( 2 ) sous sa forme la plus générale, en choisissant la valeur arbitraire a de telle sorte qu'aucune des fonctions ne soit inflnie pour x = a.