Réciproquement, toute équation

(3) FO,/,r, c* >ci—«)] = of

qui satisfait à l'équation différentielle donnée, et qui renferme m constantes arbitraires au moyen desquelles il soit possible de donner, pour x = a, des valeurs arbi-

dy dm~~x Y

traires b, &', . . . , b^m"x) à J,-4—i • • • » —. — zr? est identique

à l'intégrale générale. En effet, si Ton détermine ainsi les constantes, on aura encore pour y le développement (a) puisque, l'équation (3) satisfaisant à l'équa-

dm y dm~^* y tion (i), les valeurs de -7 — > ^t 1 • • ••» pour x= a, ne

dépendront que des valeurs i, b' , bh ', . . . , b(m~xK

CONDITIONS QUE DOIT REMPLIR UNE ÉQUATION POUR ETRE L'iNTÉGRALE d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 1)U miim* ORDRE.

552. Pour qu'une équation renfermant m constantes soit l'intégrale générale d'une équation différentielle du miim* ordre, il faut que ces constantes soient bien distinctes, c'est-à-dire qu'elles ne puissent se réduire à un nombre inférieur à m. Par exemple, l'équation

semble contenir deux constantes arbitraires, mais en la mettant sous la forme

j> = e"*(ce* + c'et')9

on voit qu'elle n'en renferme qu'une : elle ne peut donc pas être l'intégrale générale d'une équation différentielle du second ordre.

Pour s'assurer que les constantes renfermées dans l'équation intégrale sont distinctes, il suffira de chercher si elles peuvent être déterminées de telle sorte, que y et ses m — x premières dérivées aient des valeurs données

84 COURS n' ANALYSE.

quelconques i, 6', . . . , if'n""1,, pour une valeur donnée à x.