Pour éliminer deux constantes c cl c', on peut

différen lier deux fois de suite l'équation F = o: on a ainsi trois' équations

F = o, dF=:o9 rf2F = o,

entre lesquelles on éliminera c et c'. On peut aussi éliminer c entre F = o et rfF = o, puis éliminer c' entre l'équation ainsi obtenue et sa différentielle. De quelque manière que Ton opère, on doit arriver à la même équation différentielle du second ordre; car si Ton obtenait

deux équations distinctes du second ordre, en éliminant

d*y entre elles -— ■* on aurait une équation du premier ordre

de la forme

En différentiant m — a fois cette équation, on aurait

dy dm~"* y

m — i équations entre x, jr} -y-i • • •> — — et m — 2 con-

stantes, c'est-à-dire plus d'équations que d'inconnues. On ne pourrait donc pas se donner les valeurs de y,

dy dm"x y

T"> ' ' * ' -,-». . pour x = fl.

dx dx™-* r

En éliminant successivement deux des m constantes,

on aura — équations différentielles du second ordre

contenant chacune m — 2 constantes, et qu'on nomme intégrales de V ordre m — 1. Trois intégrales de cet ordre peuvent remplacer l'intégrale générale, car on la repro-

dy d* y

duit en éliminant entre elles -7- et -— •

ax dx1

557. On pourra de même éliminer un nombre quelconque de constantes et parvenir ainsi à des intégrales de l'ordre m — 3, de l'ordre m — 4» elc' Si Ton élimine toutes les constantes moins une, on aura m équations différentielles de Tordre m — 1 qui seront dites des intégrales du premier ordre. Si entre ces m équations on élimine les

dy d* y dm~~* y

m — 1 dérivées ~-> -7^-1 • • • > — -> on retrouvera l'équa-

dx dx1 dx*-1 l

lion primitive F = o entre x^y^c^ c',..., c<mmmlK 11 suffira

donc, pour intégrer l'équation

d"r ( dy d»~*y\

d'avoir les m équations intégrales du premier ordre.