Les intégrales du premier ordre permettent de
déterminer les constantes c, c', . . . , c(m~1) en fonction
dy dm~~iy de x, y, -y-* • • • > — -• En les résolvant par rapport
aux constantes et en désignant, pour abréger, les dérivées dey par y', yff, . ..,y<m~l), on aura m équations de la forme
d'où
du du . du du dm y
</.r dyJ dy'J dyV— ») d-r" ~~ °'
Mais
on aura donc
.- du du . du „ du __ , .
Cette équation doit être identique, car autrement elle établirait une relation entre x,y,yf,. . . î€/('"~~i,> et l'on 11e pourrait plus se donner les valeurs de^,^', . . . ,l7'(m~"l, pour x = a.
Ainsi, les équations du premier ordre étant mises sons
la forme
u = c9 ut=cf9 u2 = c", . . . ,
toutes les fonctions u, m,,..., satisfont à une même équation aux dérivées partielles.
INTÉGRATION DE L ÉQUATION -7-=- = f.
JL
559. Soit proposé d'intégrer l'équation V étant une fonction de x. On en déduit
j~ = \dx\ vdx -h cr 4- <r ,
^s = \dx\dx\ vdx -h cr*-f- <r'x -4- c*, et ainsi de suite. Donc, si l'on désigne en général par
« intégrations successives par rapport à x, on aura
560. L'intégrale multiple qui entre dans la valeur de y peut s'exprimer à l'aide d'un certain nombre d'intégrales simples. En effet, l'intégration par parties donne successivement
I dx I vdx = x f vdx — j vu dx9
I vdx* = f x? ! vdx —2x1 vxdx -+- / vx*dx U
I vdx* = - (s* ! vdx — 3x* I vxdx
-+- 3x j vx-dji — I vx*dx
et ainsi de suite; d'où Ton conclut, par induction,
[ I vdx* = ! 1 jrM— • ivdx — tn — i)*»-*' \vxdx
Pour établir la généralité de cette formule, il suffit de montrer que si elle est vraie pour une intégrale de l'ordre ny elle conviendra encore à une intégrale de Tordre /i-hi. Or, on peut mettre l'équation (3) sous celte forme
/ vdxm=z hx*-1 I vdx — n [n — i) x*~* j vxdx
v ' v i xn~* j vx*dx ± n I vxH'xdx
Multipliant les deux membres par dxy et intégrant par parties, il vient
/»djcm*-1 = I xH I vdx — nxu~l l vxdx »-2-.«L J J
H ■ x"~* / vx*dx — • • • dtl nx j cr*— ' dx I
I T »(n-i , If i — /!-+--: •••nz/i M
vxmdx.
Mais
i.a donc
/pfte"*1 = I xa I vdx — nx*~x I exc/x I.2.../>L J J
H x"-7 j vx'dx H- • • • zp I fx"f/.r
ce qui établit la généralité de la formule (3)*
