Enfin, l'intégrale multiplr / vdxn peut s'expri

go cours d'analyse.

mer par une seule intégrait: simple. En effet, donnons aux intégrales qui entrent dans l'égalité (3) les limites a et x; posons v =f(x), et, dans le second membre, remplaçons x par z sous le signe I : nous aurons

-\-- ^.r"-» I z*f[z)dz

ou bien, en faisant passer les facteurs constants sous le signe I , et remplaçant la somme des intégrales par une intégrale unique,

(4) jf 7 w *. = — ;;- ;--T) jT/w <- - *}-« *.

562. Cette dernière formule conduit à une nouvelle démonstration de la série de Taylor. En remplaçanty(x) par la dérivée ft*+l*(x)9 et n par n -f- 1, on aura

j /(«+*) {x)dx*-"=z - f /(»+«> (z)(.r— s)» <fc.

D'un autre côté,

./.t.1!^...^Mtzf?i

donc

+s'w ses + ^ rx^c"+o « <* - «)" *•

et, si l'on pose x = a + A, et ; = (ï + A(i — t),

I • 2 • • • /• I • 2 « • • /!> 4/ ft