APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
572. Quelle est la courbe dont le rayon de courbure est en raison inverse de l'abscisse P
L'équation différentielle du problème est (I, 257) :
(i + p>y à* dp ix
dx
en appelant — le produit constant du rayon de courbure
pr l'abscisse du point correspondant de la courbe. On
déduit de là
g} dp %xdx = jj
et, en intégrant,
d'où
et, en intégrant de nouveau,
Cette équation représente la courbe affectée par une lame élastique, quand une de ses extrémités étant fixée, l'autre extrémité supporte un poids : on lui donne, pour cette raison, le nom de courbe élastique.
573. Plus généralement, si le rayon de courbure doit être une fonction f[x) de l'abscisse, on aura l'équation
dx
d'où Ton déduira
dp = ^
et, en intégrant,
dx
Cette équation, étant du second degré, pourra être résolue par rapport à p. Soit alors p = <y (x), on aura
équation de la courbe cherchée, qui renferme deux constantes arbitraires c et c'.
574. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit proportionnel à la longueur de la normale comprise entre la courbe et Vaxe des x.
ioo cours d'analyse.
L'équation différentielle du problème est
(«) ' \£ =ir(» +/*)',
dx
n désignant une constante positive ou négative, selon que
la courbe est convexe ou concave par rapport à Taxe
des x (1,235).
En prenant jr pour variable indépendante et rempla-
dp pdp çant -j- par £-rîl> on aura
fy ___ rtpdp
On tire de là
OU
donc
-vW-
et en remplaçant p par ^9
Il suffit de prendre ce radical avec le signe + , car le signe — conduirait à la même intégrale.
Cette équation peut s'intégrer, d'après la théorie des intégrales binômes, quand n est un nombre entier, pair ou impair (I, 353 et 354).
QUARANTE-CINQUIÈME LEÇON. lOI
Examinons tes cas particuliers de n = zh i , n = ±: a. i° n = — t ; l'équation différentielle (a) devient
et, l'intégration donne
Cette équation représente tous les cercles qui ont leur centre sur Taxe des x.
a° n = i : dans ce cas, où la courbe est convexe vers
Taxe des or, on a
cdr
dx =
vy — <■*
et, en intégrant
Si Ton détermine A de manière que pour j = con ait x = c', il faudra que
c' = clr -f- X ;
d'où
ce qui
revient à
jr- r»
