DE SECOND MEMBRE
579. Nous considérerons d'abord l'équation privée de second membre
,i*\dmT «^""lJr ^dm"7r mdy
Si des fonctions particulières yx, yt, . . . , yn satisfont à cette équation, la somme de ces fonctions, et même la somme des produits de ces fonctions par des constantes quelconques ci7 ct, . . ., cn,y satisfera également.
En effet, si Ton pose
y = ctxi -+- ctXt 4- ... ■+■ emym%
on aura
dx dx dx
d'x . rf\r. , . rf*r. .
dx
d'y rf".r. , rf".y, , rfi* dix* dx"*
La substitution de ces valeurs dans l'équation (H) lui fait prendre la forme
.(2c+»Ss+...*.î+o,.
+ *(S + i£?+...-T£-HU,.)+...-a
Or, chacune des parenthèses étant nulle par hypothèse, l'équation se trouvera satisfaite. Cette propriété n'appartient qu'à l'équation privée de second membre.
580. Il suit de là que si l'on connaît m solutions particulières de l'équation (II), on aura V intégrale générale en posant
pourvu que Von puisse déterminer les constantes de manière à donner à y , -4- v • > - — — des valeurs arbitraires
J ' dx dx»—1
pour une valeur quelconque de x (n° 552).
Ces conditions ne pourraient pas être remplies s'il existait une relation linéaire entre quelques-unes des fonctions^, j^,. . .,jv Par exemple, si Ton avait
ri = «ri -*- *r« ,
on aurait
r = [ci "+■ act)yx -f- (ca -h 6c, j^, + f4/4-l-... + cMjrmy
108 cours d'an alise.
et cette expression, ne renfermant que m — i constantes arbitraires, puisque ci -h acz et ct -f- 5c$ ne doivent compter que pour deux constantes, ne peut pas être l'intégrale générale de l'équation (II),
581. L'équation linéaire étant homogène par rapport h y et à ses dérivées, on peut en abaisser l'ordre d'une unité, en posant jy = eîudx (575) ; mais elle cesse d'être linéaire. Elle prend alors la forme
(III) - — ^7 -*-... -t-(tt"-H P«'"-,-+-Q«*-,-4-. .. + U)=o.
Cette équation est plus compliquée que la proposée, mais elle fait découvrir plus facilement certaines intégrales particulières. Ainsi, quand une valeur u = r, indépendante de x, annule le polynôme
(i) ««"-+- Pm— ' H-Qa",-,-h. . . + U=/(«),
l'équation (III) est satisfaite par u = r, car les dérivées
du d7u dm"ln n . .,,
— j — p • • • » — — — sont nulles : par conséquent 1 equa-
tion (II) est satisfaite par ^ = cet"** =t ce".
