ÉQUATIONS LINÉAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS

582. Dans le cas oùP, Q,..., T, U sont des constantes, l'équation f(u) = o n'admet que des racines constantes rl9 r,,. . ., rm. En les supposant toutes différentes, on aura m solutions particulières erix, er«x, . . . , ermx, et l'intégrale générale sera

(2) y = cter**-h ca*r»*-f-. . .4- cmer*>*.

Pour le démontrer il suffit de faire voir qu'on peut déterminer les constantes cl9 cs, . . . , cm de manière que, pour une certaine valeur de x, par exemple x = o, la fonction y et ses m — 1 premières dérivées aient des valeurs arbitraires A, &', . . ., b<m-lK En effet, de lequa-

liou (2) on tire

(4) jgj = Ci rf ^t* -+- ct r\ <*** -4- . . . -f- cm ruer***.

et, par conséquent, en faisant x = o dans les équations (a), (3), (4),. . ., on aura

(C) /fir;+c,rî-l-cJr;+...-hc-r4=^f

Multiplions ces équations respectivement par A, A', A ",.••» #— *) et i, et ajoutons-les : en posant

A -t- X' r -h A"r' -4- . . . h- A<— *> r— a -h r— ' = ? (r), on aura

On éliminera cs, c8,. . M cm, en prenant pour f (/*) une fonction telle, que <f ( r4 ), <p ( rt ),..., cj (rm ) , soient nulles, mais que f (rt) soit différente de zéro. Ces conditions seront remplies si Ton pose

fir) lir) = (' — rt) (r — r,). . .(r — r,) = ^— ,

d'où

et

*(— o + . . . + k»b* + k' V -+- kb

On aurait de même c%1 ct, . . , cm. Toutes ces constantes