Lorsque l'équation

/(/■) = /-■+• Pr"-1 +...H-Tr+U=o a des racines imaginaires, la formule

représente encore l'intégrale générale, mais elle renferme des imaginaires. Pour mettre l'intégrale sous une forme réelle, observons que les racines imaginaires doivent être

(*) On pourrait aussi démontrer ce résultat en observant que le dénominateur commun des valeurs des inconnues c,, ctï c,,. . .9cm, dans lea équations (G), est égal au produit de toutes les différences des quantités r{, rt , rt, . . . , prises deux à deux, produit qui n'est pas nul, puisque uucune de ces différences n'est nulle (théorème de Vandermoude).

conjugées deux à deux si P, Q, . . . , T, U sont des quanti tés réelles. Soient donc

r,= a + 6 v^ — * 9 ri = a — 6 y/ — i, on aura

= tfaJr[(c, 4- ca)cosêx -4- y/— i [ct — c3) sin6x], ou bien

ckeTix -+- cf»1 = (AcosSx -4- Bsin6x)ea;r,

en posant A = ct 4- cs, B = (e4 — ct) ^ — i : A et B désignent des constantes arbitraires que Ton peut toujours supposer réelles.

On peut encore écrire la somme des termes qui correspondent à deux racines conjuguées sous cette forme

c<?axsin (6* -+-</).