I I 2 COURS D ANALYSE

a des racines égales, les termes correspondants à ces racines dans la formule

(2) yz=cleriS -hCjtf*' H-. . .+cmerm*

se confondent en un seul, et on n'a plus l'intégrale générale» puisque le nombre des constantes arbitraires est inférieur à m. On peut cependant déduire de cette même formule l'intégrale générale en considérant d'abord les racines comme ayant une différence qu'on rend nulle après avoir fait subir à l'expression une transformation convenable.

Pour faire comprendre ce procédé par un exemple très-

/d.r — = lx

de l'intégrale lxmic = — h C, qui devient illusoire

quand m = — 1 . Posons m = — 1 -+- h •, nous aurons

dx . x"

/dx 5=a

Mais

x* = 1 -+- /* 1* H (lx)» ■+■ ... ;

donc

dx „ 1 . h ., . h* ,. %

et, en représentant C -+- - par c,

Donc, si l'on fait A = o, on aura

dx .

586. Revenons maintenant aux équations linéaires, et supposons r1 = r1. On peut altérer infiniment peu les coefficients de l'équation (II), n° 579, de manière que

ou

QUARANTE-SIXIÈME LEÇON. n3

l'équation (i) f(u) = o n'ait plus de racines égales. Alors on a rt = r, -h A, et

y = (C, -|- C,*4*) ér1-»* H- c^* -K . . -f- cmeTm*

= ef*x f C. -4- G, 4- C, A* h- C, x* -f- . . . j

-f- CaC*"»* -h-. . .-4- cmtf™*\

ou bien, en posant

C, +-C, = c, C2A = c', on aura

j = *r»Mc-*-c'*-f-c'A h C'A2 5 4-...)

-t-Ciif" -4-, . , + f^»1;

cette valeur de y satisfait à l'équation différentielle quel que soit A. Donc, en faisant A = o, on aura

(3) y = *■■■* (c -4- c' x) -h Ci?** -f- . . .-t-cmcr'"*,

expression qui renferme m constantes arbitraires distinctes quand ru r$, r4,. . ., rm sont des racines différentes.

Quand trois racines sont égales, on suppose d'abord l'équation modiGée de manière que deux racines seulement soient égales, ce qui donne à l'intégrale la forme

Puis, supposant r8= r, -f- A, on aura

;=^ C + C,+ (C' + C,/i)x+— ar'+ -^- *»-f-... L ,#a 1.2.3 J

OU

, en posant C-hC, = c, C'-h C8 A = c', -^— = c",

1 ■ JL

yz=er**ic-hc'x -f- c"x*-\- -£-** + . . . J 4- c4 *•"•* -f- . . .;

équation qui devient, pour A = o,

(4) / = cr«* (c -f- c' x -h c"x?) H- c,er*' 4- ... -h c**?"'*. Stcrm. — ^/«., 11, g

On trouverait, de la même manière, que si la racine i\ était quadruple, il faudrait remplacer les termes qui s'y rapportent par

expression qui renferme quatre constantes arbitraires.