DEUXIEME MÉTHODE

587. Lemme. u et s> étant des fonctions de x, si l'on cherche les différentielles successives de ui>, on arrive par induction à la formule

dn(w>) = udnf> -hndudn-lv-\- " ~~ *' d2udn~*

ndn~ludi> -f- vd*u9 ou à la formule symbolique

dnuv = (du -\-dv)(n)9

en remplaçant dans le développement du second membre les exposants des puissances par des indices de différentiation, et en admettant que d°u = u.

Pour faire voir que cette formule est générale, il suffit de montrer que, si elle est vraie pour l'indice w, elle est encore vraie pour l'indice n -f- 1 . En effet, soit k dpu dn~?v un terme quelconque du développement de dnuv. On aura

d*uc = \ kdPudH-Pv.

De là on lire

dn+x uv =\ ( k dP+Ut dn~P v -f- k dPu d»-P+x v)9 ou, sous une forme symbolique,

d"+*Up=\ k duP dv*~P {du -+- dv ) = (du -+- d»)\ kduPdv*~P* Mais, par hypothèse,

k duPd^-P = ( du -H dt>)W 9

kdPudlv

on aura donc

dn+*uv = (du -+- dv) (du -+- dv)W = (du -f- r/p)('H-,)>

ce qu'il fallait démontrer. On démontrerait de la môme manière la formule plus générale

dn(up. . .z)=(du-+-dt>-t-. . . + «/«)(").