CONSTANTS

o93. Quand on connaîtra l'intégrale générale de l'équation (IF), en y remplaçant x par x — a, on pourra profiter del'indétermi nation des constantes arbitraires qu'elle renferme pour remplir les conditions indiquées plus haut. C'est ce qui arrive lorsque les coefficients P, Q,,..,T, U sont constants.

En effet, r,, r,, /**,..., rm étant les racines de l'équation

(i) /(r^^+Pr^'+...+ Tr4-U = o,

on pourra écrire

z = C, ^tC*-") 4- C2er*(x-<* -h ... -+- Cmer^x-V\ et pour satisfaire aux conditions dont il s'agit, on posera :

C, 4- C, H- . . . -f- Cfl, = O,

C, r, -f- C, r2 4- . . . 4- Cm rm = o, C, r] -h C3rJ -h . . . 4- Cm rjn = o,

C, r{— » -f- Ca r»- 4- . . . -4- Cm r%~* = o, C, r«- ' 4- C, r «-' 4- ... 4- Cwr£-' = F (a).

En opérant comme au n° 582, on trouvera

Ff«) F (a) F (a)

et, par conséquent,

F la) </•>(*-«) Ffa}^!^-») Ffa)^*"^

On aura donc I zJa, ou

; I zday Jo

f** ^.(*-«) F (a) , /•* £-r«(*-«) F fa)

rfa

, „ . . .. JV*)

Mais on n'a ainsi qu'une valeur particulière à laquelle il faut ajouter l'intégrale de l'équation

dmv ^ dm—%v dv

daf* daf1-

dx

laquelle est

v = cx e** -4- c2er*x -4- ... -h c*^*,

c,, c8, . . . , cm désignant des constantes arbitraires. Ajoutons cette valeur au second membre de l'équation (2) et observons que

peut s écrire

Jfxi?rt^-«JF(

'.-U/'tr,)-*- rXe-r*aF(a)^aJ

ou, en remplaçant c^f'^) par c15

^'k +fXe-r*«F[*) da\

il en résultera

<?-r«aF(a)</

ér

.'U.+ f* e-r'aF(a)rfal

L+ r*e-r«aF(a)dal

er"x c"

Ainsi, dans le cas des coefficients constants, l'intégrale de F équation (I) s'obtient par des quadratures.

CAS OU L'ON CONNAIT UN CERTAIN NOMBRE d'îNTÊGRALES DE L'ÉQUATION PRIVÉE DU SECOND MEMBRE.

594. Si Ton connaît m intégrales particulières y^ Jt*- - • y y mi de l'équation

dm y dm~x y d"*—7 y dr

(II) — - -h P - — r -+" Q ~Z \ +...+T^4-U/=o,

v ' dx* de"'1 ^ dxm~2 dx J

ou aura

y = C, yx -h C2r, -+- . . . -+- Cmjrm,

Ci, C|,...,Cm étant des constantes arbitraires. Or, on peut supposer que cette valeur dey satisfasse à l'équation

v ' dx* dx"'-1 dx J

en regardant C,, C, , . . . , Cm, non plus comme des constantes, mais comme des fonctions inconnues de x, qui n'ayant à remplir qu'une seule condition, savoir que la valeur de y satisfasse à l'équation (I), peuvent être liées entre elles par m — i relations tout à fait arbitraires. On choisit ces relations de manière que la détermination des fonctions C^C», . . . , Cm n'exige que de simples quadratures.

On a

dy dyt „ dy7 'fr

dx dx dx dx

dCt dC2 dCm

yx-ir- +r»"7r + •••-*-/«

dx J ' dx J m dx

Posons

, x dCt dC* dCm

Alors, on aura simplement

dx dx dx ' dx