A UN PARAMÈTRE QUELCONQUE

451 . Supposons que la fonction placée sous le signe / dépende d'une variable f, autre que x, et soit

Si les limites a etb sont indépendantes de ?, on aura, pour l'accroissement Al donné à £,

d'où

tt + A«= / f(x, t -+- M) dr,

' /(r, t -+- M) dx — / f[x%t)d#

par suiie,

th. r -*- ûm — / ij*. r \

dx,

et, si Ton fait décroître indéfiniment A(, on aura, à la limite,

dt

452. Quand a et £ dépendent de *, du désignant la différentielle totale de h, et — > — , — les dérivées partielles

da du dt *

de cette fonction, on a

du r/tf , r/« , du = — da -h -77 <*£ H- -r- '//.

Mais (448, 45i )

du -, % ^"

donc

(4) du = —f{a,t)da+f(b,t)db-hdti

dt

dx.

Interprétation géométrique.

433. Soit CD la courbe dont l'équation est, en coor- Fi&. ioa. données rectangulaires,

Si OA = a, OB = £, on aura

« = l /(.r, r) </x = ai

aireACDB.

B B' * Donnons à r l'accroissement infiniment petite : a et b qui sont des fonctions de t reçoivent des accroissements AA'= rfa, BB'= rfé. Eu même temps la courbe CD se change en une autre courbe EH infiniment voisine, et l'on a

b + db

u-\- du

= f f (x, t + dt)dx = rire A.' GUW.

Mais

aireA'GHB' = AEFB — AEGA' + BFHB'î

donc

du = A'GHB'— ACDB = (AEFB — ACDB) — AEGAr + BFHB',

ou, en négligeant des infiniment petits du second ordre,

Jrib r\b

f f{xyt-*-dt)d.r— J f(x,t)dx a J a

—/(a, t)da+/(b, t)db\ et enfin

du = dt f df{"2 ^ <**—/("> ')<*<* +/(*> ')<&•