I2Ô COURS D'ANALYSE
d*où
c ■+■ f Ycr-r*xdx
On aurait de même Cj, C3, . . . , C,„, et, par suite,
Ki 4- / \e~r**dx\ <?ri* (c2-f- j\c-r^xdr\ <*** Y =. ^ •— - Y- - -f-
ce qui est, au fond, la formule (3) du n° 593. 596. Exemple :
djc:
— ri* y — V.
Ici m = 2, /', - n} r, = — n. L'intégrale générale sera donc
y z= e»* lcx -+- — / \e-**dx\ -f- «r"* (c7 L / Ve?nrrfx ) .
597. Si l'on connaît seulement m — i intégrales particulières de l'équation (II) (n°594), il sera possible de ramener l'intégration de l'équation (I) à celle d'une équation linéaire et du premier ordre.
En effet, supposons, pour simplifier, que Ton ait h intégrer l'équation de quatrième ordre
et que l'on connaisse trois intégrales^, yt, jz de l'équation privée du second membre
dK Y d3 y d* Y dY
On représentera encore l'intégrale générale de l'équation (I) par
X — C,/, + Car> H- C:< yi9
Ci, Ci, C8 étant trois fonctions de x qui, n'ayant à rem-
plir qu'une condition, peuvent être assujetties à vérifier deux relations arbitraires.
Si nous prenons ces relations de telle sorte que les
dY d* y
expressions de -4- et de — — soient les mêmes que si C,,
r dx dx1 A
Ca et C8 étaient des constantes, nous aurons d.r r <tyx ^r dy7 dy>
— = t., — -+- Ca — 4- C3 — •> dx dx dx dx
tPjr=CtPr' | c/'7' i c/'r>,
dx7 ' dx* 7 dx2 dx1
d*ï __ n d*ïi ■ . dl* dC*
elx* dx* dx2 dx
d'r -n d,7> , , dC> d*r> ^ . d*r> d'c<
dx* dx* dx dx3 dx'1 dx*
En substituant ces valeurs dans F équation (I), et supprimant les termes qui se détruisent par hypothèse, nous aurons •
et il faudra joindre à cette équation les deux suivantes :
dCx dC7 dC9
(2) dx-'^-dx^+lïx-'^0'
* dx dx dx dx dx dx
De ces deux équations , on tirera pour — * et -7-? des valeurs de la forme
dCi v ^C, <fC3 dCi
dx dx dx dx
En les substituant à ~~^ — — s dans l'équation (1), on ob-
ÇIX %LX
tiendra, en posant — = z, une équation linéaire de la
ux
COCRS D A
forme
dz
on aura de plus
d = c7 -4- I Xs zdx, C8 = cs 4- j X3 z<£r.
La valeur de z contenant déjà une constante arbitraire, la valeur de y ou Ci y^ H- C,^, -+- C8/a en contiendra quatre. Ce sera donc l'intégrale géuérale.
598. Si Ton ne connaissait que m — a intégrales particulières de l'équation (II) (594), on serait ramené à F intégration d'une équation linéaire du second ordre. En effet, soient yx et yt les intégrales connues de l'équation (II) (597) supposée du quatrième ordre, et représentons par
/ = c,/, + cllr,
l'intégrale cherchée; comme on ne peut établir entre C,
dy et Ct qu'une seule relation arbitraire, exprimons que •£.
a la même forme que si Ct et d étaient des constantes.
Les fonctions Ci et Ct seront déterminées par les équations
. > ~ rfsc, „ </2C, dCx ,r d'C7
G, H, . . . , étant des fonctions de x. De la première on
HO dO
déduira — = X, — —' ? et substituant dans la seconde, on dx dx
aura une équation où Câ n'entrera que par ses dérivées
dCx rf'C, d*Ct A1 rfC,
, -7-75 -7-7 • Alors, en posant — = z, cette équation
prendra la forme
d*z dz
Cette dernière équation étant intégrée, on aura
= c,+ zdxy
et ensuite
c, == ct -+- h
Comme z renferme deux constantes arbitraires, on voit bien que Q%y% + Q%y% en contiendra quatre.
599. En général, si Von connaît n intégrales distinctes de V équation linéaire privée de second membre, on pourra ramener V équation complète à une équation linéaire du [m — nyim* ordre.
La démonstration de ce théorème général est suffisamment indiquée par ce qui précède : c'est pourquoi nous nous bornerons à examiner le cas particulier où Ton ne connait qu'une seule intégrale j-t de l'équation (II). Nous poserons alors
et, en exprimant que cette valeur de y est une solution de l'équation (I), nous aurons
dmCt n d^Ct „ dCt „
les nouveaux coefficients P19. . ., Tt se formant comme on Ta dit n° 589. En posant
dCx
dx '
l'équation (i) se réduit à
dm-iu ^ dm-1u ^
équation différentielle de Tordre m — i. Ainsi, Tordre de l'équation proposée sera abaissé d'une unité. L'équa-
Stchh. — An., II. 9
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tion (aj étant intégrée, on aura
C, m a -+- I udxy
et, par suite,
y=ayx -+-/, j udx.
La valeur de u contenant (m — i ) constantes arbitraires, celle de y en contiendra m; ce sera donc l'intégrale générale.
