AUTRE MÉTHODE
600. Le cas particulier que nous venons d'examiner permet de démontrer le théorème général énoncé plus haut (599), et fournit une autre méthode pour abaisser Tordre d'une équation linéaire. En effet, appliquons le même procédé à l'équation
Soit ut une solution particulière de l'équation dm—xu ~ dm—*u
En faisant
— Ul
dx
z dépendra d'une équation linéaire de Tordre m — a,
dm~'z dm~3z dm~kz
et Ton aura
u = bux -f- ux j zd.r9
et, par suite,
jrz=ajrt-h byx j w, dx -f-/, / uxdx j zcùc,
QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON. l3l
OU
en faisant
l'i=Ti / uxdx, t=ji I uxilx j zdx.
La fonction désignée ici parj^, satisfait à l'équation
C\\ dmy ^ dm-xy
car si Ton suppose V nulle, on peut prendre z = o, et par conséquent f = o, ce qui réduit y à ajrt -H bjru expression dont j'i est une valeur particulière.
Réciproquement ,oxi trouvera une fonction telle que uu si Ton connaît une fonction^,, différente de jrM qui satisfasse à l'équation (3). Il suffira, en effet, de prendre
dx
puisque u = -j-^ se change en ut si V = o, et qu'alors
y% est une valeur particulière dey.
L'équation en z étant de Tordre m — a, on cherchera une valeur zx qui satisfasse à l'équation
, ,. dm~*z ^ dm~*z
et l'on aura
z = cz. -4- z
I tdx,
dL
en faisant t r=z — !, d'où
dx
y = axi «+■ bjr7 -h cjr3 -h 0,
^, étant encore une solution particulière de l'équation (3), et ainsi de suite*
l32 COURS D'ANALYSE.
On pourra donc abaisser Tordre de l'équation (I) (594) d'autant d'unités qu'on connaîtra de solutions particulières de l'équation (3), et l'intégrale générale de l'équation (I) sera de la forme
y = ays -f- by7 4- . . . -+- Ijrm -+- >,
X étant une solution quelconque de l'équation (I).
L'équation linéaire n'admet pas de solution singulière, puisque la solution quelconque/ = X se déduit de l'intégrale générale en faisant nulles les constantes a, £>,... /.
DE QUELQUES CAS OU L'ON PEUT INTÉGRER l'ÉQUATIOH
