Si

V = A cos/ix -f- B sin nx ,

À et B étant des constantes, ainsi que les coefficients du premier membre de l'équation (i), on fera

y=ia cosnx -f- b sin nx , eequi réduit l'équation (1) à (aG 4- £H)cosnx-+- (aR+ bL)s\nnxz=z Âcos/tr -t-Bsinor,

G, H, K, L étant des fonctions de n et des coefficients de

l'équation. Pour que l'équation soit satisfaite, il faudra

qu'on ait

aG-h6H = À, aK4-&L = B,

ce qui détermine a et 6, à moins que GL — HK ne soit nul. L'intégrale générale sera

y = a co%nx -f- b sin nx -+- z ,

z étant l'intégrale générale de l'équation

dmz ^dm~lz ^dz

ff + p2=+"'+TS+D, = °'

604. La méthode précédente est en défaut lorsque GL — HK = o. Dans ce cas, l'intégrale doit avoir une autre forme qu'on trouve par un artifice de calcul dont voici un exemple. Soit l'équation

(i) — -t-.r=cosx,

on ne peut y satisfaire en posant

X = a cosx 4- b sinx, car on trouverait

— a cosx — b sin-r -f- a cosj: -f- b sinx = cosx,

OU

o = cosx, équation qu'il est impossible de rendre identique.

i34 cours d'analyse.

Mais si Ton prend l'équation plus générale

(a) -j^+y = cosnx9

en posant y = a cos nx H- b sin nx, on a

a (i — n3) cosnx -+- 6 ( i — /?•) sin/z-r = cos/ir,

ce qui donne la solution particulière

cosnx

D'ailleurs, l'intégrale générale de l'équation

est (584)

y = Ccosx -h C'suur; la valeur générale de y sera donc

r = -f- C cosx -h G' sinx.

i — ri*

Celte valeur deviendrait illusoire si l'on faisait n = i \

mais on peut écrire, en posant C = C" a>

COS/I4T — cos.* ^„ ,. .

y = • h C cosx-h Gsinx.

i — ri*

Faisant n = i, le premier ternie prend la forme -*

mais sa vraie valeur est *, donc l'intégrale générale

de l'équation (i) est

j:siï).r f . __

Y = h C Sin.r -f- C" cosx.