L'équation

se ramène au cas précédent (603) quand on a

V = A cosnx h- B sinnx-{- A' cos n'a: -h B'sinn'ar-t-, ..,

en posant

y = acosna?-+- bûnnx -+- a'cosn\r-h £' si nn'a: -*-...

cosx

Lorsque V est de la forme Aenx, on obtient une solution de l'équation (i) en posant^ = aenx ; on trouve en général pour a une valeur finie, à moins que cette valeur de y n'annule le premier membre \ dans ce cas, on suivra une méthode semblable à celles qui ont été développées dans lps nos 604 et 605.

607. On ne sait que très-rarement intégrer une équation linéaire à coefficients variables. Voici un exemple où l'intégration peut s'achever.

Soit l'équation

dm Y dm~~x Y

( aX + ^ lé + P ( ** "*" *)W~' lh^ "*" • ' '

(0 [ " ' dr

-h T(ax -f- à) -£- -4- Uy = o,

P, Q, . . . , T, U étant des constantes.

Posons y= (aor-f- b)r^ substituons cette valeur dans l'équation (i), et supprimons le facteur (ax •+■ b)r commun à tous les termes, nous aurons

( ri r — 0 {r — a) . . . (r — m -f- 1) aT

'*' ( -fPr(r-i)...(r-w + a)ai"-'4-...+ U = o.

Cette équation, étant du degré m, donnera, en général, m valeurs constantes et inégales pour r; en les désignant par f°|, ri,..., rm, les expressions (ax-hb)ri, (ox-f-&)rv.., tax -f- b)rm seront des solutions particulières de l'équation (i), d'où Ton déduira l'intégrale générale

y = C, (ax -f- b)r* -f- C*(ax -h b)r* -f- . . . -f- Cm(ax -h b)rm.

Toutefois, la forme de cette intégrale serait modifiée si quelques-unes des racines étaient égales ou imaginaires. 11 faudrait alors se servir de procédés analogues à ceux que l'on a employés aux n08 604 et 605.

Au reste, on ramènerait l'équation (i) à une équation linéaire à coefficients constants en posant ax -+■ b = é.

QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON. lij