PROPRIÉTÉS DE L* ÉQUATION DU SECOND ORDRE

608. Quand on connaît une intégrale particulière yv de l'équation / x d*r „dr

les procédés des nos 597 à 600 permettent de l'abaisser au premier ordre, et, par suite, de l'intégrer complètement.

On peut encore opérer de la manière suivante.

On a, par hypothèse,

Éliminant Q entre les équations (i) et (a), il vient /ox d*X d*yx , n/ dy dyx\

et, en posant

~ 4r dyx d*y d'y, du

l'équation (3) devient

d'où, en intégrant ,

On aura donc

<5> *£-rÊ = <W*.

ou

, j Ctr-S9d*d.r a — z=i - 5

et enfin,

{&) j-Cr.H-Cr, / — 3 —

i38 cours d'analyse.

609. L'équation (5) fait connaître plusieurs propriétés de l'équation

/ v d* y ^ dy

La constante C n'étant pas nulle, en général, supposons C > o : on aura

l«\ dy djrt

{{y par conséquent, la fonction y et sa dérivée — ne peuvent

pas être nulles en même temps.

dy La même propriété appartient aux fonctions yx et -y-»

Deux valeurs de x qui annulent yx comprennent une valeur de x qui annule y. En effet, si yx s'annule pour x = a et pour x = i, on a dans ces deux cas, d'après l'inégalité (7),

Ainsi, y et -p sont de signes contraires; mais quand x

croit de a à i, -—• change de signe pour une certaine va-

leur a: = «5 donc j" doit aussi changer de signe avant que x ne devienne égal à i. Par conséquent, la fonction js'évanouit pour une valeur de x comprise entre a et ft.

De même, entre deux valeurs de x qui annulent y, se trouve une valeur qui annule yx.

Il suit de là que si l'on fait croître a:, les deux fonctions y et yx s'annuleront, l'une après l'autre, alternativement. C'est ce qu'on peut vérifier sur l'équation

qui a pour intégrale

y = Csinx •+- C'cosor.

EXERCICES

Solution :

Solution :

dx*

y = Ce* -+- Ce~x xc*.

rt2r ~<ly x

3? + 3S+v-(ï+ïp'

i4o cours d'analyse.