DÉVELOPPEMENT PAE LA SÉRIE DE MACLAURIN

610. Étant donnée une équation entre y et quelquesunes de ses dérivées par rapport à xy on peut, comme on Ta vu (550), développer^ en série procédant suivant les puissances ascendantes de x — a, el ce développement contient m constantes arbitraires, qui sont les valeurs de y et de ses m — i premières dérivées pour x = a. En faisant a = o, on obtient une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. Mais il peut arriver que certaines dérivées devenant infinies pour x = o, la série soit en défaut, à moins qu'on n'attribue des valeurs convenables à d'autres dérivées qui ne sont plus arbitraires. Dans ce cas, la série contenant moins de m constantes arbitraires ne représente plus l'intégrale générale, mais seulement une intégrale particulière.

En voici un exemple. Soit

dx7 dx

En différentiant cette équation plusieurs fois, on aura

d* Y - d*r dy

dx* dx7 dx

d*Y , d*Y . d*Y , dy

d.r* dx* r/.r3 d.r7

nx

QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l4<

La loi de formation est évidente. Or, si dans l'équation proposée on fait x = o, y = i, — = V, il en résultera

-jL = qo , à moins que 6' ne soit nul. Il faut donc faire

dr

-j- = o pour x = o, et alors les équations dérivées suivantes donnent

d*y n7b d*y __ fi* y n*b

<£r» 3 dx> ' <U* 5 '

et, par conséquent,

. / ri^x1 n*x* \ sin/i

\ 1.2-3 1.2.5.45 / nx

ou, en faisant - = c,

sin/i.r

On n'obtient ainsi qu'une intégrale particulière. Pour avoir l'intégrale générale, il faut poser

-, sin nx

C désignant une fonction de x. La recherche de cette

fonction conduit à une équation linéaire du second ordre,

d'où l'on déduit

C=c'-hc//cot/tx, et, par suite,

c1 sin/i.r H- c" cosnx

On serait parvenu tout d'abord à ce résultat si Ton avait développé y suivant les puissances de x — a, en se donnant les valeurs de y et de — pour x = a.