MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS

61 1 . On peut encore employer la méthode des coefficients indéterminés pour développer en série l'intégrale

i42 cours d'analyse.

d'une équation différentielle. On obtient souvent par ce moyen des développements qui renferment des puissances négatives de x, ce que ne peut donner la série de Maclaurin.

Reprenons l'équation différentielle du numéro précédent, sous la forme

. . (Py 2 dy

Supposons que l'intégrale soit

(a) y = Axa-hBx6-f-C.ry4-.. .,

a, ê, 7, . . . étant des nombres croissants : on aura

% = *A.x«~l -f- 6B*6-1 -h 7O*'-1 -f- . . . , dx

et la substitutipn de ces valeurs dans l'équation proposée donnera

( Aa(a + i)xa-a+A^a+B6(6 + i)^-2

Pour que cette équation soit identique, il faut que les coefficients des différentes puissances de x soient nuls séparément. Or, puisque a, S, y. . . sont des nombres croissants, a — 1 est le plus petit exposant de x dans l'équation (3). On doit donc avoir

Aa(ec 4-l) = 0,

et, comme A ne peut pas être nul, il faut qu'on ait

a = o, ou a = — 1.

Prenons d'abord a = — 1 • Les deux plus petits exposants

QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. i^S

qui viennent ensuite sont a et 6 — a. Ils peuvent être égaux ou inégaux : s'ils sont inégaux, le terme B6 (6-f-i)x6""~a ne pouvant se réduire avec un autre devra être nul de lui-même, ce qui donnera 6 = 0 ou 6 = — 1 • Mais on ne peut supposer 6 = — 1 , puisqu'on a déjà a = — 1 , et cpie a est supposé moindre que 6 : donc 6=0. Parmi les exposants qui suivent, les plus petits sont a. et y — a-, nous devons les supposer égaux, car le terme An*x" doit se réduire avec un autre, puisque À ne peut être nul. De

là résulte

7 = 1, Ait* H- C7 (7 4-1) =0.

On trouvera de même

Jrr2, B/l» -4- D* ( 3 -4- l) = O,

«=:3, C/?*H- E«(« + i) = o, et ainsi de suite ; il en faut conclure

K ^^z — ^— — — — — , Jp ^^z ^—"^— , » • • •

Par conséquent, ou

* x nx

ou bien, en posant A = c, - = </,

A cosnx

Bsin/?x

/l c cosnx -f- c' sin/?.r