II I I I I I

i 5 xn ^t- \ 246 in

qui croissent indéfiniment avec n. C'est le type des séries nommées par Dirichlet semi- convergentes , et dont la valeur dépend de l'ordre dans lequel on ajoute les termes. Soient en général S„ et S„, les sommes des n et m premiers termes de deux suites supposées infinies avec n et m, et faisons, pour un instant,

S„ = log2„, S„, = log2„„

la différence S„ — S,„ = log ~ s'exprimera ainsi par le rap-

In

port ^' Or on ne peut obtenir une valeur déterminée pour

o co une fraction qui se présente sous la forme - ou — qu'autant ^ ^ o ce ^

que les deux termes ne contiennent qu'une seule et unique variable, à laquelle on attribue la valeur particulière conduisant à la forme de l'indétermination. Prendre autant de termes positifs que de termes négatifs dans la série obtenue pour log2 , c'est supposer n = m, et l'emploi du reste

répond précisément à celle supposilion. Mais la différence entre la somme des n premiers termes positifs et des n premiers lermes négatifs tend, lorsque n et m augmentent, vers la quantité

log2 -f- log — m

entièrement indéterminée, comme dépendant du rapport arbitraire — qu'on peut établir entre ces deux nombres en les m

faisant croître indéfiniment.

Développement de (i + jc)". — Les dérivées successives de f{x)^= (i -{- xf s'obtiennent immédiatement, et l'on a

f^"'>[x) = a[(t - \)[a—i)...[a— n-k-i)[\ -H.r)"-", d'où

• /(")(o) = rt(^ — I)(rt— 2). . .(rt — « -H li,

et, par conséquent,

/ a " n{u — \'\ ., rt(a — 1). . .(rtt — //-4-2) ^, ,

(H-.r,"=: IH JT H ^ X-'-h . . .H ^^ '- r ^./V'-'-t-R.

J'adopterai encore la seconde forme à l'égard du reste, en écrivant

„ nia — i). . .{n — n -h \) , ^ ,, ^ ,

Cela posé, le rapport du (n H- ij'*"" terme au n'*"" terme de

, ' . . rt — n -I- 1 , , ,. .

la série étant x, dont la limite est — x pour n in-

fini, la formule ne peut subsister que si x est compris entre — I et +1, comme dans le cas précédent. En nous plaçant dans celle hypothèse, écrivons la valeur de R de cette manière (*)

„ Vax {a -^i).r { a — n -ir 1) xl / 1 - 0 \""' , , ,„ ,

11 est aisé de voir que la quantité entre crochets tend vers zéro quand n augmente; en effet, quand n croit de l'unité,

(*)M. ScRRET, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. 176.

56 CALCUL DIFFÉBENTIKL.

elleacquierl le fadeur— ^(i— 1 qui a —x pour limite. Celle quanlilé est donc un produit dans lequel les facteurs plus grands que un, en valeur absolue, sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux dont la valeur absolue est inférieure à une quantité donnée comprise entre x et i aug-

mente indéfiniment. D'ailleurs l'expression ( ^— ] a pour

' \i-hdx) •

maximum l'unité, de sorte que la limite de R est bien égale à zéro, el la formule du binôme subsiste, quel que soit l'exposant, pour loules les valeurs de x comprises entre — i el H- i. Quanta ces valeurs limites, à l'égard desquelles on ne peut rien conclure de ce qui précède, je me borne à énoncer que, pour a positif, la formule a lieu en faisant x :=±j , mais seulement pour X = 1, lorsque l'exposant est compris entre zéro el — I. Dans les autres cas, la série esl divergente.

III. La série de Taylor s'étend aux fonctions de deux variables, de manière à donner, par exemple, le développement suivant les puissances de h et de k, de f{x -h A, jH- k).

Voici, à ce sujet, la méthode employée par Lagrange dans les Leçons sur le Calcul des fonctions. Représentant par fj, {^y T) '^ ^'''"' dérivée de/(^, j), prise par rapport à la variable X, on pourra écrire

Il P II

Cela posé, changeons, dans les deux membres, j en r + /', el désignons par fj"'^^l'\x, j) la dérivée d'ordre p, prise par rapporl à j, de la dérivée n''"" prise par rapport à x, on aura

et, par conséquent.

fl::U-,r^^) = ^T::^JXr'^-'y)'

^ ' -^ ' ^^ i.2...« xi.a.../^"'-*"r'' ^ ''^"

l'KKMIKKS l'RINCIl'ES. 67

les sommations s'éiendarit à toutes les valeurs entières et positives des nombres n el p. Lagrange ajoute que l'on aurait identiquement le même résultat, si l'on commentait l'opération par la substitution de y -4- /r à la place de r, et le développement suivant les puissances croissantes de />, et que l'on fît ensuite la substitution de a: -j- h pour x, et le développement suivant les puissances de h. Or, de celle seconde manière, on obtiendrait, pour terme génér.d de b série, l'expression

de sorte qu'on doit nécessairement avoir

.'..",7' ^ ■< J ' ~ •'yr.r" l"*' J /'

relation d'une grande importance et montrant que, à l'égard des fonctions de deux variables, l'ordre des dérivations par rapport à l'une et à l'autre variable peut être iruerveili sans changer la valeur du résultat final.

Mais je reviens à la série précédente, pour la présenter sous une autre forme. En groupant les termes du môme degré en h et en /»", on peut l'écrire ainsi

/(.r + /i, j + A) --=f[.c, y) 4- nf'jx. .> )

et l'ensemble des termes du n''"" ordre sera

les coefficients numériques élant évidemment ceux de la puissance n'*"" du binôme; c'est à ce résultat qu'on parvient, d'une autre manière, en posant

¥{t)=f{.v-^/ii, y-i-itt),

développant ¥{t), par la formule de Maclaurin, suivant les puissances de t, et posant enfin dans le résultat / = i. L'avantage de cette méthode consiste à pouvoir donner une expression du reste de la série, bornée à un nombre fini de termes, mais celte expression compliquée paraît peu utile, et n'a jamais reçu une seule application.

Remarques sur le développement des fonctions par la formule de Maclaurin.

I. Parmi les fonctions simples auxquelles on a précédemment appliqué le théofème de Maclaurin, les unes, comme e', sin^r, cos^, et (i+ x)", quand l'exposant est entier et positif, conduisent à des séries subsistant dans loule l'étendue des valeurs réelles ou imaginaires de la variable. Celles-ci, au contraire, log(i -h x] et (i 4- .r)", a n'étant plus entier et positif, ne se développent qu'en supposant la variable, en valeur absolue, inférieure à l'unité. Ce fait analytique tient à une différence de nature entre les deux groupes de fonctions, que la considération des variables imaginaires rendra manifeste.

J'observe d'abord qu'en faisant

.r = p(ccsw -+- \/—i sino)) dans une série

où les exposants de la varinble sont des nombres entiers positifs ou négatifs, on obtient pour résultat cette expression

2A„ f("cosrtw -+- \J — I XA,, p"sinrtw.

. dont les deux parties reprermenl la même valeur quand on y change w fn 0-1-27: si le module p, par exemple, est constant. Or, en écrivant