I -h .r = R(cosq) -H v^— I sinï

on a vu plus haut que l'angle 9 devient 9 -(- 2-, quand on remplace &) par w -+- 27:, lorsqu'on suppose p supérieur ali module de —I, c'est-à-dire à l'unité. Par conséquent, il est alors

PHEMIËRS PRINCIPES. 5g

impossible que les quanliiés

log(n- x) = logR -I- <pv^^,

(l H- x)" = R''(cOSfl<p -h^^smarf)

soient développahles sous la formel A„a.'',puisqu'en changeant 6) en w -f- 277, ni l'une ni l'autre ne se reproduisent. La première s'augmente effectivement de ir.\/—i, la seconde devient

R'[cosfl(y-(-2Tr) -+■'/— i sin«(«p-4-ar)j= £R''(cos/7ç -h\/—i sin<7^),

et se trouve multipliée par le facteur

« = cos-ion -T- v' — • sinar/TT,

qui est différent de l'unité, si l'exposant a n'est point entier. Au contraire, en supposant p<Ci, on a vu que 9 ne change pas quand 'o augmente de la circonférence; rien alors ne s'oppose ptus à ce que les fonctions soient représentées par les séries que donne le théorème de Maclaurin. En effet, c'est ce qui a lieu, mais c'est seulement dans le Calcul intégral que ce théorème sera étendu aux valeurs imaginaires de la variable.

II. Le petit nombre d'applications qui ont été faites de la série de Maclaurin tient à la difficulté d'obtenir l'expression générale d'une dérivée d'ordre quelconque de la fonction qu'on veut développer, et qu'il est nécessaire de connaître pour former le reste. Cette série n'en est pas moins d'un usage continuel dans toutes les circonstances où l'on n'a besoin que des premiers termes, en négligeant la discussion du reste. Elle peut servir aussi dans des questions d'Analyse pure, et j'en donnerai un exemple qui permettra d'étendre ses applications, en recherchant la dérivée d'ordre n d'une fonction de fonction /[<p{j;)], ou bien/{e^), si l'on suppose, pour

A" abréger, u =zo(x). Cette dérivée étant le coefficient de

° TV/ I . 2 . . . /t

dans le développement de je partirai de la relation

y(x + /l) = ^(x) -4- Y^'(X) -4- --^flx) H- j^ f{x) -H. . . ,

6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et faisani OU plutôt

à = - Il -\ Il •■ '

je mettrai le développement clierclié sous cette première forme

Cela étant, il restera à calculer les puissances successives de è, afin d'obtenir dans chacune d'elles le coefficient de A"; mais h étant en facteur dans è, on n'aura point à considérer les puissances ô"-^', ^"^"■,. . ., d'où l'on voit déjà que la dérivée cherchée sera de la forme

A; étant le coefficient de h" dans ô'. Soit, par exemple, u = x\ on aura

3=1 lu: -\- /P = // ( 2 .r -+- // ) ,

et

Ô'= //' (2J"j'-i- -( 2-r )'-'// -I- -^ ~ (2.gj'"V/'' -+-...

Nous obtiendrons donc le coefficient A, en faisani /+ /» — /i, c'est-à-dire h 7= n — i, ce qui donnera

/(^-iU/-2)..^/-// + .) ' 1.2... (// — /■) ' '

. ' • . , , , . ■ n — I quantité qui s annule tant (;u on ne suppose point / > ;

de sorte qu'il convient d'écrire la formule en renversant

PREMIERS PRINCIPES. 6l

l'ordre des termes, el commençant par f^"Hu),f("-''{u),

Une réduction facile donne alors, pour la dérivée n''""def{x'), cette expression

('ix)''fW{u)-h/i{/i-i)(ix)"-'f("-'){,i)

n{n — \). . .[n — 7.fi -f-'i ] \ .1. . . k

qui a d'importantes applications.

Soit encore

u — -t a ou 0= j = ; j-,

et, par suite,

^ ' X' X' le' 1 .x'+' i.i x'-' "J

on obtiendra semblabicmcnl ( *)

Revenant au cas général, nous remarquerons qu'en vertu

du théorème de Maclaurin, le coefficient de dans le

développement de la fonction

est la dérivée n''"" de cette quantité, prise par rapport à h, quand on y aura fait h = o. Celle dérivée, d'ordre n, se tire immédiatement du développement de la puissance

et a pour valeur

(*) M. Scutëuicii, Journal de Crelle, t. XXX.

Or, en y faisant h = o, elle se réduit à

de sorte qu'il vient, en remplaçant, pour abréger l'écriture,

(f(x) par w (*),

A. = — î — r(''')^"^ - -(«'"' )^"^ « -^ ^li^:i-'^- («'•-»)(") //'-...],

le dernier terme de la quantité entre parenthèses étant

III. Les racines des équations algébriques ou transcendantes peuvent aussi être développées suivant les puissances croissantes de x par la formule de Maclaurin, puisqu'on sait former les dérivées des fonctions implicites, et, en prenant pour exemple la relation

Y =z a ->!- X sin }•,

qui sera plus lard traitée dans le Calcul intégral, on trouvera sans peine pour les premiers termes

}• = <5f H- .r sin« H sin2« -I- — ( 3 sin3<7 — sin «) + ... .

Mais sur ce sujet que je ne dois point aborder ici, je me bornerai à la remarque suivante du célèbre géomètre allemand Eisenstein. Supposons que le premier membre de l'équation ¥{x,y)=io soit un polynôme entier en .r et j à coefficients numériques rationnels, et qu'on en ait tiré un développement en série

dont les coefficients a„, a soient de même rationnels.

En les réduisant à leur plus simple expression, le dénomi-

(*) Voyez dans le Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. Bertuakd, t. I, p. iSg, une autre démonstration de ce résultat, qui n'est guère applicable qu'à la condition de pouvoir obtenir immédiatement les dérivées successives d'une puissance quelconque de u, c'est-à-dire dans les cas de u =. xV-, u = e"*.

naleur du terme général a, présentera celte circonstance caractéristique, do ne jamais contenir qu'un nombre fini et limité de facteurs premiers différents.

Dans ce développement, par exemple.

on ramène la fraction

a n'avoir pour dénominateur qu'une puissance de 2, par celte transformation