B. sin 1- B., sin h . . . -h B , sm ^ h

la principale propriété de ces séries consistant en ce que les coefficients A„, B„ décroissent quand n augmente, de manière qu'elles sont toujours convergentes du moment que Jes fonctions restent elles-mêmes finies. Ce fait peut déjà s'observer sur les expressions de cette nature qu'on tire de la méthode du paragraphe précédent et qui ne renferment qu'un nombre fini de termes, savoir

1 C0S'.r = 1 -t- COilx,

8 COS'^ =3-1-4 C0S2.r -f- cos4.«',

32. cos" 07 -— 10 -H i5 co^'ix H- G cos4î^ + cosGj:-, 128 cos' a: =35-1-56 cos2.r -1- 28 cos4'^ -1- 8 cos 6 .r -f- cos 8 a.-, ,

4 cos' a: = 3cos.r -h cos3.r, i6cos^a:= locosrH- 5 cos3.r -)- C0S5.r, 64 COs'j: = 35 cos.r -+- 21 cos3a: -h 7 cos5.r -i- i'0S7.r,

Toutefois, il peut y avoir avantage à se servir des expressions précédentes; en voici un exemple remarquable et important.

II. Soil, pour abréger l'écriUire, /=^— i, ei nommons a el b deux conslantes telles, qu'en faisant

la quaniilé [3 soil positive et différente de zéro. Si l'on suppose

— f ub

on obtiendra les développements indiqués par

qui seront convergents sous cette condition, non-seulement pour des valeurs réelles, mais aussi pour des valeurs imaginaires de la variable, comnie l'exponentielle e*. Or ces fonctions périodiques, Q{x) et ô^{x), sont les transcendantes qui, s'offrant immédiatement après les fonctions circulaires, constituent le sujet d'une branche d'Analyse qu'on nomme la théorie des fonctions elliptiques. Ces quantités se lient par leurs propriétés fondamentales aux sinus et aux cosinus, et conduisent immédiatement aux fonctions doublement périodiques. En effet, chacune d'elles ayant pour période 2a, je dis

que leur quotient

possède, de plus, la période b.

Pour le reconnaître, nous développerons l'exponentielle, et

faisant, pour abréger, q = e' '', nous écrirons

OU encore

« , , -7,1,' X^ „7 / T^JC . . ItXX

et, plus simplement,

TT.r

si l'on observe que, le nombre n prenant toutes les valeurs de — x à + ^ 1 les sinus se détruisent comme égaux deux à deux et de signes contraires. Or, on aurait tout à fait de même

ma-

6[x) — e"'' > (— i) (/ cos2«-^'.

de sorte qu'en supprimant au numérateur et au dénominateur le facteur e "'' on parvient à cette expression

V^ î TT.r

... > 7" COS 2 // ~j-

dix] v^ , . , '2 7r.r

OÙ la seconde période Z> se trouve mise en évidence.

La définition de ces nouveaux éléments du calcul, qui étendent le champ de l'Analyse envisagée dans son objet le plus général, l'étude des fonctions, terminera les considéralions préliminaires que nous avions à présenter avant d'aborder le Calcul différentiel, dont nous allons maintenant exposer les principes.

l'IlEMIEKS PRINCIPES.

Série de Taylor.

I. f>a noiion do la dérivée se présenle en Algèbre, à l'égard d'un polynôme entier ¥{x), au commencemenl de la théorie générale des équations, lorsqu'on recherche le développement de F{x -h h) suivant les puissances croissantes de h, et l'on obtient ainsi, n désignant le degré du polynôme, l'équation

La série de Taylor n'est autre chose que ce résultat étendu à une fonction quelconque et voici les considérations qui y conduisent.

En premier lieu, l'équation précédente, mise sous la forme

— ^ ^ ^ — '. — V'{x-i l«"Lr H-. .. fC'Ux),

Il ^ 1.2 ^ ' \..-i...n ^ "

montre que la dérivée ¥'{x) peut être définie comme la limite du premier membre quand l'accroissement h tend vers zéro. Or celte remarque conduit à considérer une pareille limite à l'égard d'une fonction quelconque /(a-), et, par suite, sans recourir à aucun développement en série, à étendre à toute fonction la notion de la dérivée, en la définissant encore

fix + h) f(x)

comme la limite du rapport '^ ^ — -» pour h = o.

48 CALCUL DIFFÉKENTIEL.

Celte définition se justifie, comme on sait, par les conséquences importantes qu'on en tire pour toutes les fonctions continues; je rappellerai pariiculièremeni les suivantes :

Vue fonction dont la dérivée est nulle pour toutes les valeurs comprises de x^= Xoà x =\ est constante dans le même intervalle.

Si la dérivée d'une fonction est toujours positive depuis X = Xo jusqu'à X = X, la fonction, dans te même intervalle, est continuellement croissante avec x.

Lorsqu'une fonction continue est nulle pour deux valeurs x^ et X, la dérivée, si elle est elle-même continue, s'annule pour une valeur comprise entre x» et X.

C'est cette dernière proposition, c'est-à-dire le théorème de Rolle, jointe aux règles de calcul établies si facilement en Algèbre pour la formation des dérivées de sommes, de produits et de puissances de fonctions, qui nous suffira pour établir la série de ïaylor.

Considérons, en effet, l'expression

qui s'annule identiquement quand f(-T) est un polynôme entier du degré n — i, comme on le voit en développant /(X) écrit sous celle fornie/[:c -h (X — x)], et cherchons à la déterminer lorsque /{:r;) est une fonction quelconque. Soit pour cela, p désignant une quantité positive quelconque non supérieure à n,

de sorte que l'on ait

En remplaçant x par z dans tous les termes du premier

membre de celle équalion, excepté dans P, je serai conduit à l'expression suivante

[XjljJ— ■/(.-.) (,)-^X -3)^ p^

qui s'annulera d'abord poui'z = j:, et en second lieu, évidemment, pour z = X, de sorte que sa dérivée par rapport à z sera nulle pour une certaine valeur de cette quantité comprise entre x et X. Or cette dérivée se réduit à cette ex- |)ression très-simple

ot la valeur de z pour laquelle elle s'annule, étant comprise entre x et X, peut être représentée par x -h Q{X — x), 0 étant moindre que l'unité. 11 vient donc

et, par suite,

En posant enfin X — ^ = /j, on a le résultat auquel nous nous sommes proposé de parvenir, savoir

C'est à M. Rouché qu'est due la démonstration précédente de cette forme du reste de la série de Taylor, donnée pour la première fois par M. Schlomich et par M. Roche {Journal de Mathématiques de M. Liouville, 2" série, t. III, p. 271). Il y figure un nombre indéterminé p, et, en supposant /? = n et p = I, on parvient aux expressions de Lagrange et de Cauchy,

1" Partie. 4

5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

dont il est fait surtout usage, savoir 1.1... n'

Mais le principe même de celle démonsiraiion si simple, qui repose sur le théorème de Rolle, appartient à M. Hommersham Cox, ainsi qu'on peut le voir dans l'Ouvrage de M. ïodhunler {A Treatise on the dijferential Calculas).

II. Les résuliats qui viennent d'être établis, en se plaçant essentiellement au point de vue des fonctions réelles et des variables réelles (*), supposent que la fonction /(.r) et ses n premières dérivées soient continues pour les valeurs de la variable comprises entre or et .r H- A. En supposant .r = o, et remplaçant h par^c, on en déduit

le terme complémentaire désigné par R étant susceptible de ces deux formes principales, savoir

l\ — Q V'-' af

R = iî ii^/-(«)(ôa-).

C'est ce qu'on nomme la formule de Maclaurin, identique au fond avec celle de Taylor; car elle donne le développement d'une fonction de x suivant les puissances de x, et la série de Taylor, le développement d'une fonction de h suivant les puissances de h. Il n'y a qu'un petit nombre de fondions auxquelles la formule de Maclaurin s'applique avec simplicité , ce sont celles-ci : a', sin.r, cosa;, log(i + x) et (i + x)"; nous allons les considérer successivement.

(*) C'est seulement dans le Calcul intégral qu'on traitera du développement des fonctions en série dans le cas le plus général des variables imaginaires quelconques.

PREMIERS PRINCIPES. 5l

Développement de a*. — En posant on obtient immédiatement et généralement

/(")(j:) = rt'Iog'rt.

On en conclut

y(-)(o)=log"«;

d'où la série connue

xlogrt xMog^ ■r"-'log"-'^ ^ P

flr =: I -(- 1 (-...-(- ; -1- n,

et, en employant la première forme du reste, on aura

La convergence de la série ayant été déjà établie, il suffit de reconnaître que R décroît indéfiniment quand n augmente. Or cela est évident; car le facteur a'' ne dépend de n que par la quantité Q dont le maximum est l'unité, de sorte qu'il a

3C'^ 1 02" Cl

pour limite supérieure a', et quant à l'autre facteur — i

on sait qu'il décroît indéfiniment, quel que soit x.

Développements de sinx et cosx. — Posons, pour obtenir la dérivée d'ordre n de sin,ar,

/(j") = 8in(^-i- x), a étant une constante, on aura

f'{x) = C03(jr-*- a) = Sin(.r -j-a -)- - jj

de sorte qu'on passe de sin (^ -+- a) à sa dérivée, en changeant simplement a en a -f- -t On conclut delà, quel que soit n,

/(") (x) = sin ( X -+- a 4- — j ,

Sa CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ei, par conséquent, pour a = o,

TITC

Or l'expression f("'> (o) = sin — donne, pour « = o, 1,2,...,

une suite périodique dont la période est o, i, o, — i, et l'on retrouve le développement

./' .r' ,v^ .1''"' ' ' Sin ,: = ±- — % -r —-, -...+ (-, )'"-' i ^ + R ,

en posant

Ce reste est ir.oindre que -, -5 et a donc encore

zéro pour limite quand m augmente indéfiniment.

Kelaiivement à cos.r, on obtiendra semblablement pour

sa n'^""' dérivée l'expression cos ix-{ U donnant de même,

poura: = o, une suite périodique dont la période est 1,0, — 1,0, ce (jui reproduira le développement connu

COSa: = 1 -H —- — ...-(-(— 1 ;

qu'on aurait pu conclure du précédent, en en prenant la dérivée par rapport à x. '

Développement de log(i + .r). — Pour obtenir la dérivée /i'*"" de/(xj = log(i +.r), il convient de poser

afin d'appliquer la règle relative à la dérivée des puissances d'un binôme. De celte manière, on trouve immédiatement

et, par suite,

On en conclut

/fo)=0, /'(«l-l. /"(O) .---- I...., /("'{o)-.-(-l)"-'l.'2...f//-l^

d'où

lo^(i -f- .r)= .r h'— -f- . . . -H- (— 0" 1- R.

° ^ '^34 'il — I

Muis la série contenue dans celte formule n'est pas convergente lorsque la valeur alisolue de x est supérieure à i , car le ra|)-

port du ( /J + I )''"" terme nu précédent, savoir - -- — i a poui'

limite x, n étant infini; de sorte que le dévelop|)emenl donné par la formule de Maclaurin ne peut subsister que poiii' les valeurs de la variable comprises entre — i et -l-i, et il sera alors effectivement applicable si R = o pour n infini. Considérons, pour le voir, la seconde forme du resie

que j'écrirai ainsi R

I H- ôx V I -1- hx ^

La quantité i-1-ô.r étant toujours supérieure à i — 0, il en

résulte que I ..-- 1 a l'unité pour maximum; m;iis, dans

rhvpoihèse admise, le facteur x" di'croîl indéfiniment, de sorte qu'en définitive H =^ o pour n infini. La série pioposée

, , , x' .TT" X^

lOgll -f-.r) =: JC h --(-...

a donc lieu pour les valeurs de la variable comprises entre — i et + I.

J'ajoute, afin de donner un exemple de l'emploi de la pr(îmière forme du reste de la formule de Maclaurin

que la convergence subsiste même dans le cas limite de x ~ i .

On a, en effet,

2rt -h I

ei, en supposant ^= i,

quantité qui s'annule évidemment quand n devient infini. La série ainsi obtenue, éiant écrite de cette manière

se présente comme la limite de la différence des deux quantités