IV. Déterminons la constante N dans l'équation

par la condition X„= i pour ^ = r, et en posant

considérons, pour la décomposer en fractions simples, la fraction rationnelle

Les seules racines du dénominateur qui ne soient pas doubles étant I et — I, je ferai

(i— x')^\x) x-i x-^\ {x — ay [x — bf (."t — /)'

OU, pour abréger,

I « P Vr A A'

(i— x''jF»(jrJ X — I x-4- Cela élanl, on a d'abord

I Jmi\{x~ay x — aj

el, par suite,

car on a supposé F(i) - i, el F{x) renfermant seulement des puissances de x de même parité; F'( — x) a la même valeur que F'(ar).

Soit ensuite x ^a -\- h, A et A' seront les coefficients des

termes en r; et t dans le développement du premier membre, suivant les puissances croissantes de cette quantité. Or on a

et le produit des seconds membres donne immédiatement les valeurs

(i-«-^)F"(«)' (i-«*)^F'»(rt)

Mais l'équation différentielle

(a:»-i)F''(x)-f-aa:F'{x)-«(/z-t-i)F(x)=o

nous montre, en y posant ^ = a, queA" — o, de sorte qu'on parvient à l'égalité suivante

(i-x»)FHjr) ^ a \x^ ~ x^^) '^2à {i — à')F"(a)(x — a)''' ' f' Partie. 29

45o CALCUL INTÉGRAL.

En intégrant, elle donne

J"'^ dx I J7 -H I '^ I

puisque le second membre s'évanouit pour ^ =qo .

Or, en développant l'intégrale suivant les puissances décroissantes de X, on aura, F(:r) étant du »""" degré, une série de la forme

d'où la relation

2> aV

^^^ \x - I ) '^2à{i - n')F"(a){x - a) ^ iP^ "^ P^^ "^^ ' * '

et l'on en tire, comme nous avons vu,

si l'on pose

V. L'intégrale / c^{z)dz, prise entre deux limites quelconques, que je supposerai finies, se transforme, en posant

dans celle-ci :

à laquelle s'applique donc la méthode d'approximation que nous venons d'exposer. Celte méthode exige la connaissance des racines a, 6,..., / des équations X„ = o, et les valeurs des quantités correspondantes

On les trouvera dans le Mémoire de Gauss, auquel je renverrai, calculées respeciivemeni avec dix el quinze décimales, et je me bornerai à remarquer qu'ayant, dans les cas de n = i, 2, 3,

, = jr, A, = — , A, = ,

on en déduit, pour les expressions approchées correspondantes de l'intégrale,

Gauss a fait l'application de sa méthode au calcul du logarithme intégral / j ■ pris entre les limites a = 100,000,

P = 200,000, et trouve ainsi

Pour n—T. 8405,954599

Pour /i:^:::3 84o6, 230775

Pour n — 4 8406,242970

Pour n — 5 8406,248117

Pour n — 6 84o6,243i2i

Pour «=7 8406,243121

A cette occasion, je ferai observer que la partie entière de la

valeur numérique de celle iniégrale donne Irès-approximaiivemenl le nonibre des nombres premiers compris entre les deux limites; car, d'après les Tables, il y a gSg-a nombres premiers de I à looooo, el 17984 de i à 200000; or la différence esl 8392; c'esl, à i4 uniiés près, le nombre 8406 qui esl donné parle logarilhme iniégral.