X "XX

6" nx"

Cf. a?

X ix'^

a" nx"

On reconnatt dans le premier membre le développement de

,Og(,-î),„g(,-Ê)

en négligeant — ^î "tï:' * • •> et» dans le second, les expressions telles que

I rt n»+'

donnent » en négligeant de même les puissances de -

X Cl X

supérieures à la n""'. Il en résulte une détermination sous un nouveau point de vue des coefTicients A, B,..., L, par celte condition que la fonction rationnelle

X — a x—b X — / Âià X — a

et la quantité tianscendante

aient, aux termes près de l'ordre — ^> le même développement suivant les puissances décroissantes de x. Je dis de plus que, en partant de cette égalité,

où e, £,,... sont des constantes, on peut retrouver l'expression de l'intégrale définie proposée / <s^{x)dxy et calculer la valeur de R qui donne la mesure de l'approximation. Représen-

tant à cet effet log ^ pa"" / » j'observe qu'on aura,

en développant suivant les puissances descendantes de ^,

•v^ . Ai rt «^ \ £ g'

Cela posé, je multiplie par (f{a;), et j'égale dans les deux membres les termes en - • Dans le produit

le coefficient de - est

le même calcul donne ensuite 9(2) sous le signe d'intégration, et la partie — -7 + —^ conduit à la quantité

de sorte qu'il vient

ce qui est le résultat qu'il s'agissait d'obtenir.

IV. Jusqu'ici nous avons laissé entièrement arbitraires les quantités a, b,..., l; or l'objet essentiel de l'analyse de Gauss est de les déterminer de manière à ne laisser subsister, dans la valeur de R, que les coefficients de 9(0:) de l'ordre le plus élevé qu'il sera possible. Ayant, comme on l'a vu,

on disposera donc de ces quantités, qui sont au nombre de n, de manière à avoir e = o, £':= o, . . . , e"-' = o, et il en résultera cette expression

OÙ figurent seulement des termes d'indice égal et supérieur à 2n. En se fondant sur la théorie des fractions continues, Gauss conclut alors immédiatement de la relation

lOg a = > 1 1 7T-^ -I- . . .

que les fractions rationnellesN — --—pour /i=:i, 2, 3,...

sont les réduites successives du développement de log ^>

dont la loi générale est aisée à obtenir. Ne devant rien emprunter à celle théorie, je vais parvenir aux résultats de l'illustre géomètre par une autre voie, en les déduisant des propriétés les plus simples des polynômes X„de Legendre, dont j'ai précédemment donné déjà la définition.

Je rappelle, à cet effet, qu'on a, en désignant par N une constante, celle expression

d'où résulte d'abord que toutes les racines de l'équation X„=:o sont réelles, Inégales et comprises entre — i et -f i. Nous en avons ensuite tiré l'équation différentielle du second ordre (p. 210),

/dx — — - nous a donné un

polynôme entier F„(^) (p. 278), tel que le quotient -^^ — »

ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la variable, coïncide avec la série

aux termes près de l'ordre -^^^' En supposant « = -'. P^',

on voit que la fraction rationnelle

Ài^ X — a

sera précisément

par conséquent nous devrons prendre pour les quantités a, 6,..., /les racines de l'équation X„:=o, et la théorie de la décomposition en fractions simples donnera pour les constantes A, B,..-,L, en posant X„=F(^), les valeurs suivantes:

Elles dépendent du polynôme F„(ar) dont nous avons donné l'origine, et qu'on obtiendrait d'une manière plus simple et plus directe, en remarquant qu'il constitue la partie entière en X dans le produit

mais nous allons en donner l'expression au moyen de la dérivée de X«.