VI. Les intégrales définies de celle forme

qui s'offrenl souvent, donnent lieu à une méthode spéciale d'approximation qu'il convient d'indiquerpour sa simplicité, et aussi afin de donner un second exemple des considérations précédentes.

Soit Y{x) le polynôme entier de degré », défini par l'égalité

F ( x ) = cos // (arc cos^) , on aura

¥'[x) = n sin«(arccos^)

et, par conséquent,

Or de là résulte une approximation du radical ■ par

une fraction rationnelle, car on peut écrire

' ^ F'(.r) r i__ir''

\/x^-\ nV[x)\ Y\x)\

~ nY[x)Y^^ 'j.¥\x) ^2.4 ¥'[x~)'^'"X

et, en observant que le développement suivant les puissances

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQCES. 4^3

décroissantes de x, la quanliié est évidemmenl de la forme

.M-fi • ,.i«-f3 ~2n-ti

nous poserons, en conséquence,

Cela établi, je rappelle que l'on a

fiz TT

de sorte que l'égalité précédente devient

I r-^' dz F'(.rl

F'ix) il en résulte, en décomposant en fractions simples „, />

et désignant, à cet effet, par a, b,..., l les n racines de l'équation F(:r)=:o, cette relation

I /" -^ ' dz ^ ' y ' \ ( ^ \ ^' \ \

Or il suffit maintenant de multiplier les deux membres par la fonction

et d'égaler ensuite les termes en - pour en conclure

si l'on pose

C'est la formule d'approximation pour l'intégrale que nous avions en vue ; elle prend une autre forme qu'il importe de remarquer, en changeant de variable, et faisant x = cosQ. Effectivement on a alors

F(^)= cos«9,

d'où l'on voit que les racines a, b,. . ., l sont données par l'expression