an — 1) 1.2. 3. ..2/1 I

où l'on reconnaît dans le facteur ' ' .,' ' ' — r le coefficient

du terme moyen dans le développement de la puissance 2/1 du

binôme, qui est nécessairement un nombre entier. De cette

observation découle comme conséquence immédiate que les

séries

log(i-4-.r)=a: - --Hy— ...,

ne peuvent satisfaire à aucune équation algébrique, puisque les dénominateurs des coefficients contiennent des facteurs premiers en nombre illimité, et représentent nécessairement des fonctions transcendantes.

Je terminerai ces remarques par quelques exemples de développements en série de fonctions d'une ou de deux variables, savoir

(j:-Hv/i^^r = (2xr-/;/(2x)'» '-h"'^'"~^\'XxY-' (*) Lacramge, Leçons su- le Calcul des fotccions, p. ia6.

(.-xrV(i-j)"^ V t-3.5...(2r^-i).i.3.5...i2/.>-i) ^, ,i,. , ,..i ^ 2.4.6.. .2(«-f-^) -^

= I H — [j: -f- J') H -(3x^-h xr-+- 3r") H-.

•^ nln — i) . . .(a — b + i) x^'' r"

log(i — .r)(i — j) -^ 1 .2.3. . .(7.1 .2.3. . . ^

xr—x—r J^ 1.1.3. . .{a -h h -h i)

xy

= i-h - [x -hr] -i (3.3;' -4- xr -4- 3/^) + .

arc cos , , , . , ,

arccos

/ 3 2 2.4 , 2.4.(> sX

Entin j'indiquerai, comme irouvant une application géométrique importante, ce résultat, que le groupe homogène des termes du second degré dans le développement du radical

= I -+- [xx -+- x'j) -^-i[[px^-hP'xf -+- p"f^) — {xxH- a'j)'] + .

i>BEHIEHS PRINCIPES. 65

entre comme facieur dans le groupe homogène du troisième degré cl des degrés plus élevés.