DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE

Différentielle du premier ordre.

I. On a fait usage, en élablissanl les propriétés fondamentales des fonctions dérivées, de l'équation suivante

où e désigne une quantité qui s'évanouit avec k. Celte équation, donnant

montre que la limite du rapportdeladifTérence/(.r-h/j) — /(.r) au produit hf'{x) est l'unité lorsque h tend vers zéro. C'est à ce produit qu'on a donné le nom de différentielle d,e/(.r ), et on le désigne par la caraclérisiique d écrite devant la fonction, de sorte que l'on a

df{T)=l,f'{.r).

Dans le cas particulier de f{x) = x, cette équation devient

(Ix — II.

et la relation précédente s'écrit ainsi

df[ji-)=f'[x)clx.

La définition de la différentielle ainsi posée, voici la première proposition à établir. Soient

u=z->([x) et j =/(//),

je dis que la différentielle de/ reste la même, soit qu'on exprime j en fonction de u par l'équation j=/( m) ou en fonction de X par celle-ci y' = f\<^{x)\.

En etfet, la différentielle de y, en considérant y comme

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fonction de x, est le produit de dx par la dérivée de j; on a donc, d'après la règle relative à la dérivée des fonctions de fonctions,

Or la différentielle de y, considérée comme fonction de u,

est

fir=f'{ii)(/u;

ce qui est précisément le résultat précédent, en observant que la différentielle du a pour valeur (^'{x)dx. Soient, par exemple,

u = x"' et jr = «'", au lieu des deux expressions établies en Algèbre

u'—mx"'~^ et j'= ///«"'"'/<', on aura ces résultats de même forme

(lu = m u.'"^' flx et (If — ni u'"'' (lu.

Nous avons maintenant à donner l'expression de la différentielle de toute fonction d'une variable, c'est-à-dire simplement à appliquer la notation différentielle aux expressions des dérivées des diverses fonctions considérées en Algèbre, et que nous allons ainsi passer en revue.

Soient, à cet effet, u, v, w,. . . diverses fonctions de x; les relations suivantes

donnent

f = u -h ç -h w -h.,., y=uv-\-i>u, y

Multiplions donc les deux nombres par dx, et remplaçons u' dXi v' dx, w' dx,. . . par du, dv, dw,., ., il viendra

(ly = (lu -+- (Uy -4- (Iw 4- . . . , (ly = V (lu -f- u (h>, , V du — u (Iv

En opérant de même sur l'équation qui donne la dérivée

d'une fonciion composée de plusieurs autres,

«' H • l- •' II» '

(iy = f (lu -f- f (h -)- /' (U\> H- . . . . El si à ces résultais on joini les suivants

d.c"^ = ///.r"'"' rlx, d l02.r = - dx. du" ~ a^\Q?.a dx.

savoir

on irouvorn

d Ioîr.r = —dx.

d sin X —■ cosx dx^ dcosx = — s\nx dx,

r/arcsinjr =

dx.

d lanK j: =

cos'r

dx.

darc cosx —

darc tan^jr =

dx,

on aura réuni tout ce qui concerne la différenlialion des fondions explicilos. Quant aux fonctions implicites données par une équation entre x et f, f{x, y) =10, la valeur