V- conduit à la relation

— -jr 't-^- 'y

II. L'introduction de la notion de différentielle nous ayant ainsi amené à présenter l'ensemble des résultats obtenus en Algèbre relativement à la formation des fonctions dérivées, je résumerai succinctement les procédés qui y conduisent. La dérivée de y'=f{u), en supposant u = ^[x), savoir

sera le premier point à établir, et on sait qu'on y parvient bien facilement. Le second point sera la dérivée de log^, il exige plus de développement, mais on peut le considérer comme fondamental, car. en employant cette proposition évidente, que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chacune d'elles, on en déduit immédiatement la dérivée d'un produit de deux ou d'un nombre

quelconque de facteurs, d'un quotient, d'une puissance, l'exposant étant quelconque, enfin de l'exponentielle. Soil, par exemple,

on aura puis

logj ^3 m logw, r ' m u '

d'où

Soit encore

on aura

et on en con

ura

y y' = ni - u' = mu'"' u

.rloga= logj,

doù

1'=: vlog« = /Y^loga.

Viennent ensuite les fonctions circulaires, dont la dérivée se déduirait encore de l'exponentielle, en admettant les formules d'Euler

sin./; = 1 cos.r — — «

ly — i '•*

mais qu'on établit directement d'une manière plus élémentaire. Obtenu par une voie ou par l'autre, le résultat conduit, en posant sinj = ^, cosj;=:r, aux dérivées de arcsin^, arccosa:, et il ne reste plus qu'à chercher celles des fonctions implicites. Ici se place un théorème important, donnant l'expression de la dérivée d'une fonction f[u, v), composée de deux autres, et dont la démonstration est encore très-facile. Appliqué à réquation/(^, j) = o, il conduit immédiatement à l'expression cherchée, et qui complète l'ensemble des résultats précédemment énumérés, servant de base au Calcul différentiel.

III. Avant d'aller plus loin, je vais considérer, afin de familiariser avec la notation différentielle, quelques questions qui dépendent d'éléments géométriques relatifs à la tangente à une courbe 7 =/{:«;).

En un point quelconque M {Jig. 4), menons la tangente MT, la normale MN, l'ordonnée MS, et désignons par 9 l'angle MTjt. On aura immédiatement

Fig.

SN=jtangcp, ST

COSip'