MT

JCOtfp, Y

sinf '

Fig. j.

ce sont les longueurs auxquelles on donne les noms de sousnormale et de sons-tanç^ente, de normale et de tangente. Considérant en parlifulier les deux premières, je remarque que si l'angle 9 est obtus, comme l'indique celte nouvelle figure [Jig. 5), on aurait

SN = — /tangcp, ST = — jcolfp.

Mais alors les longueurs ne sont plus comptées dans le même sens pir rapport à la projection du point de contact sur l'axe Ox, de sorte qu'on peut se borner aux premières formules

SN=jtang^, ST=jcol!p,

en convenant, pour la sous- normale, qu'elle sera portée à droite du point S ei elle est positive, à gauche si elle est négative, et faisant la convention inverse à l'égard de la sous-iangente. Cela posé, je me propose de déterminer toutes les courbes

ayant, au signe près, môme sous-normale et même sous-langenle qu'une courbe donnée quelconque j -^ o(x).

dr

Employant a cet cllei l'expression tang9 = —•) qui permet

d'écrire

Ytly CT y^^

<lx (ly

SN

je suis amené aux relations

fr/Y

\ dt ^ y dx

^ dx '

d\ dy

"jO CALCUL DIFFÉREMIEL.

Or la première, en muUipIianl les deux membres par 2^/.r, donne immédialemeni

ou bien

ei en désignant par A une conslanle arbitraire, on en conclut

A l'égard de la seconde, envisageant d'abord le signe +, on

aura

Yr/,r Yflx

ou, sous une autre forme,

r/Y dY

et on reconnaît ainsi dans les deux membres les différeniielles de logY et logf, de sorte que nous en conclurons, en désignant par logA une constante arbitraire,

logY =-- logj+logA, et enfin

Y = kr.

Si l'on considère en second lieu le signe —, c'esi-à-dire la

relation

Yr/.r ydx

on en déduira

/Y - dy '

\ dy -^ yd\ = o,

et le premier membre jnetlant en évidence la ditTérentielle du produit Yr, nous sommes amenés à celle conclusion

Yr=A, d'où

On voit donc qu'étant donnée la tangente à la courbe

y=:(f){x), on en déduit, par une conslruciion géomélrlque immédiate, la tangente à ces diverses transformées, savoir

Toutes les courbes du second degré, sous ce point de vue, dépendront de la ligne droite, qui est à elle-même sa propre tangente, et en considérant pour seul exemple l'ellipse

Fig. 6.

nous opérerons ainsi. Ayant tracé la droite r= -^ (^g. 6),

qui est la diagonale OA du rectangle des axes, et mené l'ordonnée MS d'un point quelconque M de la courbe, nous obtiendrons sur cette diagonale le point m, auquel correspond la même sousnormale sauf le signe. Soit mn conduit perpendiculairement à Ont, afin d'obtenir Sn; nous porterons cette distance à gauche du point S, en SN = S/i, et MN sera précisément la normale au point M de l'ellipse.

IV. Afin d'appliquer encore la notation différentielle, voici les questions analogues aux précédentes à l'égard des courbes rapportées à des coordonnées polaires, où l'on emploie encore ces mêmes dénominations de sous-normale, sous-tangente, etc., mais en les définissant d'une autre manière, comme il suit :

Élevons au pôle S [Jîg. 7) une perpendiculaire au rayon vecteur SM=p; soient T et N les points de rencontre pe cette perpendiculaire avec la tangente et la normale à la courbe en M ; on aura, si l'on désigne par V l'angle SMT :

Fig. 7.

La sous normale SN = o cotV,

La sous-tangente ST = & tangV,

La normale MN = -J-^ ■>

sinV

La tangente MT = — ^. •

^ cosV

Ces diverses expressions, sauf celle de la normale MN, soni affeciôes du signe — dans le cas de l'angle V obtus, cotnme on le verrait par celte seconde figure (Jîg. 8). Mais, sans m'y Fig. 8. arrêter, je remarque qu'en désignant

par p' la dérivée de p par rapport à l'angle polaire w, on a

p pffw

tangV=.^, = L.,

lion différentielle.

et on en conclut, en employant la nota-

SN = t- ST-^

d(à ftp

Soii donc p =/(&)) l'équation d'une courbe quelconque, nous obtiendrons toutes les autres lignes p, = 9(0), ayant même sous-normale, en posant

Cette seconde courbe a reçu le nom de conchoide de la première. En égalant les sous-tangentes, nous trouverons

ou bien

'-^ dp

ei par conséquonl

ce qui établit entre les inverses des rayons vecteuis la même relation que précédenimeni.

Un résultat plus important s'obtient enfin en chercbant sous quelle condition les angles des tangentes avec les rayons vecteurs correspondant au même angle polaire r» sont supplémentaires. En posant, en conséquence,

ce qui peut s'écrire on en conclut

0, (lo

et l'on voit que la seconde courbe est la transformée de la première, par rayons vecteurs réciproques.

Différentielles d'un ordre quelconque.