I. Kn posant l'équation
(ly =/'( y) (1.1-
sert, conime on l'a vu, de définition à la différentielle première de j. Or cette différentielle, étant une fonction de x, a elle-même une différentielle qu'on désigne par d{dy), ou plus simplement par r/'j, et dont l'expression, en su p posant (/jc constant, s'obtient immédiatement au moyen de/"(jr). Effectivement, la différentielle de /'(.r)rfjr sera le produit de dx par sa dérivée relative à x, c'est-à-dire /"( x) f/x, puisque dx est constant, de sorte que l'on aura
<Py^ f"(j),!.r\
On obtiendra de même
rry=f"'{.r)<f.r\
et généralement
d'>r=f^")[x)dx".
Il est à peine nécessaire d'observer que n indique dans d"r l'opération n fois répétée de la différenliation, tandis que dans dx", c'est un véritable exposant algébrique.
Celte notion de différentielles d'ordre quelconque étant en Analyse d'une grande importance, nous allons la présenter sous un nouveau point de vue.
II. A cet effet, je considère la suite des fonctions /i(.r), f.ix],. . .,fn\x) auxquelles je donne le nom de différences successives de f{x), saso'w
et je vais prouver qu'on a
e„ s'évanouissanl avec h.
Pourcela, j'observerai d'abord qu'on obtient successivement
et généralement
fni^) =/('^ + "il ) — '?,/[•« ^- (" — ') ^'] -^ "ifV'^ -h{n — 2)//] - . ..,
les quantités n,, iii,... désignant les coefficients des puissances de X, dans le développement de (i -t- x)". Cette formule importante se vérifie par le procédé élémentaire qui consiste à la supposer vraie pour un nombre quelconque n, et à démontrer qu'elle subsiste pour le nombre n -h i. Cela posé, développons /„(.zO suivant les puissances croissantes de h, en appliquant la série de Tavlor à chacun des termes
PREMIKRS PRINCIPES.
qui ontrcnl dans son expression, savoir
f[.i- ^[,1- 1)/,] =/(.r) -f- ^ — i- f[x) H- -—jy^ J (^•)^"
Ces développements, substitués dans/, {^•), donnent pour résultai
les coefficients désignés par N„ N,, N„... dépiMidant uniquement du nombre n. En particulier, on trouvera
mais les suivants demandent, pour être déterminés, un procédé particulier, souvent employé dans d'importantes (juestions d'Analyse. Il consiste à mettre à profit cette circonstance, que les valeurs cherchées sont les mêmes pour toute fonction /(:c), et à faire la supposition de /(^) = e', d'où résultent les conséquences qu'on va voir. En premier lieu, on trouve
Toutes les dérivées de f{x) reproduisent d'ailleurs e', de sorte que la formule de développement de /„ (.r) donne immédiatement, en supprim;int dans les deux membres le facteur e',
c'est-à-dire
Or le premier membre contient en facteur A"; donc, tous les nombres N„, N,, N^, . . . , jusqu'à N„i, sont nuls, et l'on a
76 Calcul différentiel.
Nous obtenons donc, pour le développemeni cherché,
en posant
quantité qui s'évanouit avec h. Il en résulte que la limite du rapport de la différence finie /„(ji;) au terme /i"f'-"'>(x) est l'unité, lorsque h tend veis zéro; or ce terme, en faisant h = dx, est précisément la différentielle d'ordre n de/(.r), à l'égard de laquelle on trouve, par cette nouvelle voie, la définition et la propriété caractéristiques données pour la différentielle du premier ordre. J'ai considéré, pour plus de simplicité, la série de Tàylor comme indéfinie dans ce qui précède; mais si l'on veut raisonner plus rigoureusement, et envisager un nombre fini de termes , on observera qu'en arrêtant à la puissance /t""^' les développemenls de f{x + nli), f[x + {n — i)Ii'\, on obtient, au moyen de la première forme du reste,
ùo l'on fait, pour abréger,
Xi désignant une valeur comprise entre les limites x et X -h ih. Cela étant, la conclusion ressortira des propriétés purement numériques des coefficients N», N,, N,,. . . dont les n—i premiers s'évanouissent, les suivants étant : N„ = i,
N„+, = -v) propriétés qu'on peut supposer établies à /?/70/7.
Nous trouvons ainsi non-seulement
mais encore £« sous la forme suivante
/lA
III. La différentielle d'ordre n de la fonriion A^" donne lieu
l'UKMIEUS FKINCM'ES. 77
à une remarque imporlanle. O nombre n, qui, par son origine, est essenilellemenl entier et positif, figure, à titre d'exposant algébrique, dans le second membre de la relation
OÙ il peut dès lors recevoir une valeur quelconque. On est ainsi amené à définir la différentielle à indice quelconque de Ae" par l'expression Ae"a"dx", obtenue, d'abord en supposant n entier et positif. De celte fonction particulière, nous passerons ensuite à une fonction quelconque exprimée analyti(}uement par celte somme
•composée d'un nombre fini ou infini de termes, en convenant de poser
r/"v = ( A/ï" r"^ -+- B 0" f*' ■+■ C c" c^'-h...) fl.r".
Cette idée des dilVérenlielles à indices quelconques, qui est due à Leibniiz, a éié le sujet des travaux de l'un des plus grands géomètres de notre époque, M. Liouville. Je renverrai à ses Mémoires, qui ont été publiés dans le Journal de l'École Polytechnique, en me bornant à donner à celle occasion la formule suivante
ffiiv — vd"u -(- '/, dod"-^ Il -H n.^ (Pv(l"-'^ii -+-...-!-« d"v,
où les coefficients numériques «,, /?„ . . . sont ceux des termes QïxXyX'*... dans le développement de (i+^)". Dans le cas de n entier, le seul que nous ajons à considérer, elle se démontre en l'admeiianl pour une valeur donnée de n, et vérifiant ensuite par la différentialion qu'elle a lieu pour la valeur n-M. On peut encore écrire, avec des coefficients numériques indéterminés, n», //,, «., • • -,
({"nv = N^i>d"u -h ii^dv d"~^ Il -k- n^fl^i'd"~^ii +...,
et, en posant u = e", v = e''^, on arrivera immédiatement à la conclusion précédente, car il vient ainsi, après avoir supprimé dans les deux membres le facteur ^ («+^)',
(« H- f.)" = „y -+- //, ri"-' ù -t- //, fi"-''b^-i-
Différentielles partielles et différentielles totales. "
I. Une fonction de deux variables z=^f{x,y) peut être différentiée m fois par rapport à x, et ensuite/? fois par rapport à j; c'est au résultat de ces opérations qu'on donne le nom de différentielle partielle. D'après ce qui précède, la différentielle d'ordre m par rapport à x s'exprimera par le produit de la dérivée m''"",f'[^"J{x, y), multipliée pavdx'", et si, en considérant x comme constant, on différentie l'expression
p fois par rapport à y, le résultat sera
On l'écrit plus simplement encore de cette manière
djf'dyi'
d'" z car, en premier lieu, -7—;^ t'ai la dérivée d'ordre m de z, par
rapport à x, et l'on convient ensuite de poser
d" /d"'z\ d'-'^fz TiV" \ dxF ) ^~ dx"' dj » '
Comme on a déjà démontré qu'on peut, à l'égard des fonctions de deux variables, intervertir l'ordre des dérivations par rapport à l'une et à l'aulre variable, il en résulte que
dx"
(fl'z\ d^ fd'"z\
d"'^Pz
et c'est ce qui justifie la notation adoptée , ^ . > où la permutation des indices m el p n'apporte aucun changement. Soit proposé, comme exemple, de déterminer les dérivées
partielles du premier ordre -i-et -^ d'une fonction de x et y
d(?finie par l'équalion
Nous ditrérentierons d'abord celle équation par rapporl à x, en appliquanl la règle des fondions composées, et il vien-
dra, en faisanl suivant I usage ■— ^ p, (i¥ d¥
Pour avoir ensuite j- qu'on représente par q, nous différenlierons de même par rapporl à j, ce qui donnera
Si l'on désirait en outre les trois dérivées partielles du second ordre, à savoir
(Pz __ fPz r/^3
on opérerait ainsi.
Différeniiant par rapport à x l'équation
dV dV
d.r dz '
. . . . dV dY
nous observerons que les quantités -r~ et -j- contiennent x
et 2, et donneront chacune deux termes; nous appliquerons
ensuite le théorème qui permet de remplacer . par -^ — j >
dp d'z et enfin remarquant que -j- = -j—^ — r, nous trouverons
Pour avoir s, nous pouvons partir de la même relation différentiée par rapport à j, ou de celle-ci
8o CALCUL DIFFÉIIENTIEL.
diffcîrenliée par rapport à x, et il vient ainsi
iPY fPF r/-F rPf r/F
-. — T- 4- 7—7- p + 7—7- ^+ -nP^j + -r "^ "•
(ixdf dfdz' dxnz dz' ' dz
Enfin / résultera de la dernière différentiée par rapport h y, ce qui donnera
d^Y d'Y d'F . dV ■d^'^''d^z'i^-cW'l^dz' = ''-
Connaissant donc p el q er\ fonction de x, y ot z, on en déduira, par la substitution, les valeurs de r, s et t.
II. La différentielle totale d'une fonction de deux variables z=:f[x,y) est la somme des différentielles partielles par rapport à .r et par rapport à y, c'est-à-dire
dz , dz ,
-y- d.r + -j- dy dx dy
et on la désigne par dz, le symbole d'opération Payant, comme on le voit, des significations bien différentes dans les deux cas.
La différentielle totale seconde d'z sera de même la somme
des différentielles totales des deux termes -r-dx,-r dy, el
dx dy -
si l'on suppose dx et dy constants, celte somme sera
fd'z , d'z ,\ , f d'z , d'z ,\ ^ [dx^ ''■" + -cT^y ''^') ^'^ + V.7^' '^^ -^ rF ''n ''^''
c'est-à-dire
-p-T, dx^ -f 1 -, — ;- dxdr + -r— dy'. dx (Ixdy " (ly "
En général, on aura, pour la différentielle totale d'ordre «,
d" z = -; — dx"-{-n, ■ „ , , dx"' dy d.jn" ^d.}c"-^dy ^
.d.v" 'dy'-h...+ -j-,dy",
' 'dx"-'dy' - ' ■■* ' dy"
el je vais établir qu'en supposant cette formule vraie pour le nombre n, elle le sera encore pour le nombre n -f-i. Effecli-
PREMIERS PRINCIPES. 8l
vcmeni, la diiïérenlielle lolale d'un terme quelconque
sera
d(i sorte qu'on aura
Or, on reconnaît, d'après une propriété élémentaire .des coef ficienls du binôme, que ce résultat se déduit du précédent, en y changeant «en « -i- i .
Je me bornerai maintenant à énoncer, sans la démontrer, la proposition suivante, analogue à celle qui concerne les différentielles des l'onctions d'une seule variable.
Soient
Si l'on développe fn{x,y) par la formule de Taylor, suivant les puissances ascendantes de li et de h, sous cette forme
où U, désigne l'ensemble homogène des termes de degré ien h et h, on aura identiquement
U^ = o pour /<«, et, si l'on fait
h = (Ix, / = f/r,
l'expression générale de U, sera
N,r/'/(ar,j),
en désignant comme ci-dessus par N,- le coefficient de h' dans le
1" Partie. (J
(Il h' h^ y
développement de ( - h 1 ; — ^ + • • • • Le premier
terme de la série qui représente /„( ar, j) sera donc la diirérentielle totale d" z.
Changement de la variable indépendante.
Ona vu précédemment que l'étude des fondions algébriques, et spécialement des racines carrées des polynômes entiers en X, reposait surtout sur l'emploi des substitutions rationnelles de la variable x en une autre B. C'est ainsi, par exemple, qu'ont été ramenées aux fonctions rationnelles les expressions delà [ovmQ f^x, sjk{x — a)[x — b)\. Or le même procédé analytique joue un rôle très-important dans l'étude des fonctions définies par une relation telle que
/■/ ffy ^'f fl'"r\
ce qui est l'un des principaux objets du Calcul intégral. Ces
relations ont reçu la dénomination d'équations différentielles,
à cause de l'expression des dérivées de j, qui y figurent, par
dy d^ Y le rapport des différentielles -7-5 -—--, • • • • L'Analyse envisage
de même des conditions plus complexes, telles que
dz dz d"'z
dx dy dx'
où il s'agit d'une fonction z, de deux ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes, et qu'on nomme pour le même motif équations aux différentielles partielles. Les opérations relatives au changement de variables, dans ces diverses circonstances, constituent une question importante dont nous allons nous occuper dans les cas les plus simples.
I. Voici le premier : Supposons, comme on en a des exemples en Géométrie analytique, que les coordonnées x et /d'une courbe soient exprimées à l'aide d'une troisième
varioble, qu'on ail par exemple
x = a(t — s\nt), f=a{i—cost).
On ne pourra pas alors obtenir j en fonclion de x, ni par conséquent le coefficient angulaire de la tangente dont la connaissance est nécessaire à la discussion de la courbe. Mais on peut chercber à l'exprimer en fonclion de /, et on y parvient comme il suit.
A cet effei, soil en général
la première équation permettant d'exprimer / en x, on peut regarder y comme une fonction de fonction, ce qui donnera par conséquent
ou avec la notation différentielle
Cela posé, et en considérant toujours / comme fonction de x, on a
nous obtiendrons donc le résultat chercbé en éliminant -y- »
ax
ce qui donne
dx ff'[t)
Par là, on voit que le coefficient angulaire de la tangente à la courbe proposée s'exprime facilement, conime les coordonnées X et y, par le moyen de /; ainsi, dans l'exemple ci-dessus, on trouvera
dy sinf . i
-T = - = COt-/.
dx I — COS/ 2
J'ajoute qu'on obtiendra par le même procédé la dérivée d'un ordre quelconque de y par rapport à x. Qu'on suppose en effet
rf"r
dar
nous regarderons encore t comme une fonction de x déterminée par l'équation
et la règle de la dérivée des fonctioiis de fonctions donnant on en conclura
C'est ainsi qu'on obtient successivement ces valeurs
dx' '^'\t) . '
(Py ^ y'(0[y'(Or(0-f(0y'"(f)]-3»"«U-/(n-y'(^)--V(Oy"(O]
dx^ ^'°(0 ' )
qu'on écrit de cette manière
d'y (Ixd^y — dyd'^x dx' dx"
d\r dx{dxd\y- dyd'x] — 3d^x(dxd\y — dyd'.r ) dx^ dx^
les différentielles se rapportant dans les seconds membres à la variable /, qui reste quelconque. Pour en faii e une application, je supposerai
alors on aura les dérivées de j prises par rapport à x, exprimées par les dérivées de x prises par rapport à/ sous celte
forme
d^x dy I d'^y dy^
dx dx dx^ I dx
Tfy \Ty
dx d\r /d'xy
d'y dy dr^ dx''^ fdx\
II. Soil proposi», en second lieu, de cliaiigor de variable dans l'équalion diiTérenlieile
en faisant x = sin /, on aura ainsi
ih ffr I fl^f ^(jx sin/ ri' y v i tlx "'fit cos/' dx' " \dt cos/ dt'' y cos*/'
d'où ce résulial
Soil encore
,ni+-f=--
Posons d'où
dx~ ITt'^ ' dx^ ~ \7/^ dt ) ' '
cl l'on aura encore pour transformée d'y .
Je considère, en dernier lieu, l'équalion diiTérenlieile suivante, qui est d'une grandie imporlance en analyse, savoir
,fny , , . dr
[x — x' -y- +{} — 3x-) xy = o.
dx dx
Je fais
ce qui donnera
dy dy \/i — r' d'y d\y \ — /* dr i
dx~~dï } ' Tix' ~ TiF ~~F~ ~ Tû ?'
de sorte qu'en substituant, on obtiendra, entre y ei /, l'équation
qui reproduit la proposée entre/ et ^. On en conclut que yz=(^{x) étant une solution, on y satisfera encore en pre-
nanl j= (p(v/i —a;^). Cet exemple montre comment le procédé analj-tique du changement de variable dans une équation différentielle peul servir à l'étude des fondions qu'elle définit.
m. Dans le second cas, nous considérerons une fonction de deux variables indépendantes z z=(^{x, f), et, en posant
