X = XY, Y
Dans ce cas, y' ne contient pas x, et il vient immédiatement
dz (Iz dx dx
(Pz fPz^ , dx'~ dx"^ '
On trouve ensuite
dz dz dz !
dj dx' dj' j'
et, par conséquent, en remplaçant x et r p:>i^ leurs valeurs en
x' et j',
dz dz I
dx dx ' y '
d'z^d'z I dx' dx''^ y''^'
dz ^ dz , , dz ,j r/j ~ dx' ' -^ dy' ■^
Cela fait, et en substituant, il arrive que, par rapport aux nouvelles variables, on retrouve exactement l'équation proposée, savoir
d^z , , dz dz ,, ,.,
Nous avons, par suite, ce résultai que, si l'on satisfait à l'équation proposée en prenant z=f{x,y), une autre solution s'obtient en posant
Cette équation aux différences partielles du second ordre, qui vient de nous donner un exemple du calcul du changement des variables, est, en Analyse, d'une grande importance. Elle donne en effet le développement en série d'une fonction uniforme analogue à l'exponentielle et aux lignées trigonométriques, servant de base à la théorie des fonctions elliptiques. Je
PHEMIERS PRINCIPES. 89
renverrai, pour les changements de variables dans les équations aux différences partielles de la théorie de la chaleur et de l'attraction, qui exigent des calculs plus longs, au Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. Bertrand, t. I, p. 179, et au Cours de Calcul différentiel et intégral de M. Serret, t. I, p. 129..
qO CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Préliminaires.
Les questions de Géométrie dans lesquelles figure la considération des infiniment petits appaitiennont essentiellement au Calcul infinitésimal. Elles s'offrent néanmoins dès les éléments, dans la mesure de la circonférence et du cercle, de la surface et du volume du cvlindre, du cône et de la sphère, et, plus tard, en Géométrie analytique, pour la détermination de la tangente aux courbes données par leurs équations. On voit par là combien doivent être simples et élémentaires certains principes que nous attribuons cependant au Calcul différentiel et au Calcul intégral. Ils se résument effectivement dans la notion A' infiniment petit, qu'on sait déjà avoir pour définition une quantité variable dont la limite est zéro, et dans ces deux propositions :
1° La limite du rapport de deux infiniment petits y. et ^ n'est pas changée quand on les remplace par d'autres, ex! et (3', sous les conditions
lim — — I, lim^ = I.
2° La limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites n'est pas changée quand on remplace ces quantités par d'autres, dont les rapports avec elles ont respectivement pour limite l'unité.
La première se démontre en divisant membre à membre
les deux égalités posées, ce qui donne immédiaiement
Iim r-, = lim -r-
Pour éuiblir la seconde, considérons une somme d'infiniment petits
dont le nombre n augmente indénnimenl, et nommons [3,, ^j,. . ., [3„ d'autres infiniment petits, tels que
lim - = I . lim -' -- i , . . . , lim — = i .
On sait que le rapport
est compris entre la plus grande et la |)lus petite des (raclions
il!, !-i,. • ■ 1 ^\ il a donc pour limite l'unité sous les conditions
admises, et les deux sommes d'infiniment petits sont égales entre elles.
A ces propositions se joint une notion importante, celle des infiniment petits de divers ordres. Nous dirons qu'un infiniment petit (3 est du n''"" ordre par rapport à a, lorsciue (3 est
j3 une fonction de y. telle, (lue ~ soit lini pour a = o; ainsi, en
supposant la première des constantes A, B, C, ... différente
de zéro, on pourra généralement poser
f5^ a"(A-h Ba-^Ca^^...).
Tels sont ces principes de l'application du Calcul infinitésimal à la Géométrie, dont l'importance et l'étendue ne pourront être appréciées que plus tard. Mais, afin de les rendre plus clairs, je vais de suite donner plusieurs exemples de leur usage.
I. Soient M et N \ fig;. 9) deux points voisins d'une courbe y=zf{x) rapportée à des coordonnées rectangulaires, MA et NB leurs ordonnées. L'aire MNAB et le rectangle MN'AB,
9a CALCUL Dll-TËHKNTIKL.
obienu on menani MN' parallèle à l'axe des absi iss, s. s cvn lig. 5). noulssoiu en même lemps qiinml M tt \
roYncidcnl. O sonl, par cniisôqiuMU, dis '*l — ^ inOnlnnMU p.iiis. el je vais prouver que h
linuie (le Kmu i.ippori esl Puiiii '.
Supposons. ;i ooi etlVl, les poii is M c\ N
assez voisins pour que, dou^ K-m inUM\allt\ Tordonnée de la courbe varie toujours dans le même sens ei soil, pour fixer les idées, conUnuoil(Miiont rri^issanto. F.n menant NM' parallèle à l'axe, on fornui.) un 1 <h iaiii;K> M N A 1), comprenanl l'aire M M> v. qui osl elle-même inférieure au reclangle MN'AB, où L^ rôio MM' esl parallèle à MN. Oi l.> rapport des deux roctanglos, ayant lujo dimension <ommiiii(> AI!. esl celui des lignes M'A el M\: il a donc pour limiio I uiiio. ei il en esi de même, par conséquont. de la liniiie du i.ippon de l'aire MNAB à l'un d'entre eux.
II. Cel exemple de la subslitulion, sous la condition du premier principe, d'un inOnimenl petit à un autre, conduii immédiaiemenl à une application du second principe ooiut ;nanl les limiies de sommes.
Considérons, à cet oJlVt. une portion, comprise enire deux ordonnées PK, QS {^g, lo), de l'aîre de là courbe,r=/{x}, pjg^ ,Q el divisons-la, par des parallèles a
l'axe des r. en n parties lelles que MNAB, égales ou inégales, mais toutes infiniment petites quand n devient infiniment grand. Cela étant, et ayant mené MM' parallèle à l'axe desx, on voit, d'après ce qui a été établi sur le rapport des infiniment petits MNAB et MM' A r>. que la même aire sera aussi bien la limite de la somme dos rectangles MM'AB, Ce résultat s'exprime sous forme analy- Uque de la manière suivante :
Désignons par .r„ jr„. . ., x, les abscisses des points de division» de sorte que *, = OR, x. = OS; la somme
JM»'
APPLICATION (iÉOMÉTHiQUEg. 03
U'nd vers une limiie finie el délerminée lorsqu'on fail d.''cr<»lire indéfinimenl les difl'érences x, — jr,, x, — x,,. . ., x, — x,,. Kl si l'on écril, comme on le fail souvent, x/^., — x/=: Ax/, fC'lle limite, qui est la môme quelle que soit la loi de décroissement de Ax/, est précisément l'aire l*QUS et s'exprime de cette manière
Renvoyant aux Éléments de Calcul infinitésimal de M. Duhamel, t. 1, Cliap. VIII, pour les exemples de résultats obtenus par cette formule avant l'invention du Calcul différentiel et du (^Icul intégral, je me bornerai, d'après l'éminent géomètre, à observer que toutes les mesures de la Géométrie élémentaire sont des conséquences simples el immédiates de ce second principe sur les limites de sommes. Celle du cercle, par exemple, résulte d'une décomposition en secteurs égaux et de la substitution des triangles aux secteurs; celle de la pyramide triangulaire, d'une décomposition en troncs de pyramide de même hau'.eur, auxquels on substitue des prismes triangulaires, etc.
m. Voici maintenant des exemples d'infiniment petits du second ordre. L'un des plus simples el des plus importants s'offre en considérant, dans un triangle rectangle ABC, la diffé- Fig. M. rence entre l'hypoténuse AB {Jig. m) el
sa projection AC, lorsqu'on suppose infiniment petit l'angle A que je désignerai *~ *^ par a.. Ayant, en effet, AC = ABcosa,
on en conclut
AB-AC = AB(i-cos*)-=ABf— ^ + ...Y
fonction de a dont le développement commence au terme en a', de sorte que cette différence est un infiniment petit du second ordre.
Ce résultat, qu'il est si facile d'obtenir, est d'un emploi continuel, el, comme exemple, je vais en tirer la détermina-
94 Calcul différentiel.
lion de la tangente aux courbes définies par une équation en coordonnées polaires, déjà connue par les éléments. Soient OM et OM' [fig. 12) deux rayons vecteurs qui corres-
pondent aux angles &> et msorte qu'on ail
doi, de
En projetant le point M sur OM' en P, aux infiniment petits près du second ordre, OP sera égal à p, el par conséquent PM' à ffp. Le triangle rectangle M'MP donnera donc
MP psindoi langM = -775 = ■ — ;
dp
et en nommant V l'angle formé par le rayon vecteur avec la porlion de la direction limite M'M, dirigée du côté vers lequel l'angle w décroît, nous obtiendrons immédiatement
tangV^: tangM' =
prloi
-Tp
Considérons encore la distance à la tangente d'un point d'une courbe j=/(^) infiniment voisin du point de contact dont les coordonnées seront supposées x et f. En désignant par X el Y les coordonnées courantes, la tangenie aura pour
équation
et la distance à celte droite du point ^' = a:- + A, y' =zf[x -f- li)
sera
ou bien, en développant/(x + h) par la série de Tcylor,
Celle distance est donc, par rapport .à h, infiniment petite du second ordre; elle le serait du troisième en un point d'in-
flexion doni l'abscisse annule, comme on sait,
Je vais appliquer ce résultai à quelques déterminaiions de langenles par des considérations géométriques simples, cl qui oiïrironl des exemples intéressants de l'emploi des infinimenl petits {*)• Je me fonderai sur le lemme suivant :
La limite de la direction déterminée par deux points infinimenl voisins M et M' {Jîg. i3) n'est pas altérée si l'on sub- Fig. i3. stilue au point M' un autre point M",
J^ tel que M' M" soit infinimenl petit V par rapport à MM'.
Effectivement, le triangle M M' M"
:ffeciiv
donnant 1
.1 relation
