MM

" SinM"

le premier n:embre a zéro pour limite sous la condition admise; il en est donc de même de sinM, par conséquent de l'angle M. d'où résulte bien que les directions M M", M M' se confondent à la limit?.

Nous appliquerons à deux questions le lemme qu'on vient d'établir :

I" Trouver la tangente à la courbe lieu des projections d'un point fixe 0, sur toutes les tangentes à une courbe donnée.

Traçons la tangente à cette courbe aux deux points infiniment voisins M et M' {Jîg. i4), et menons par le point M une parallèle à la tangente en M'. Soient P et P' les projections du point 0 sur les deux langenles, et considérons en même temps le point P" où la perpendiculaire OP' coupe la parallèle à la tangente en M'. La distance du point M à la tangente en M', que nous savons infiniment petite du second ordre, par rapport à MM', étant représentée par P'P", nous substituerons

(*) Ces exemples sont tirés du Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. lîertrand, l. 1, p. lo.

Fig. 14.

q6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

le poiiil P" à P' de sorte que P et P" apparlenaiil au cercle

décrit sur OM comme diamètre, la direction PP" a pour limite la tangente à ce cercle. On a donc ainsi une construction facile de la tangente cherchée, et surtout de la normale qui s'obtiendra en joignant le point P au milieu de OM.

2° Trouver la tangente à la courbe

lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit

à une courbe donnée.

Soient P [Jig. i5) un des points du lieu, M et N les points

Fig. i5.

de contact des deux tangentes qui le déterminent, P' un second point infiniment voisin, M' ot N' les points de contact qui y correspondent.

Menons par les points M et N des parallèles aux tangentes en M' et N', nous obtiendrons par les intersections de ces quatre droites un parallélogramme dont les côtés sont infiniment petits du second ordre, d'où l'on conclut que la distance P'P" est infiniment petite du second ordre. Cherchant donc, au lieu de la direction PP', la limite de la direction PP", on voit que ces deux points appartiennent à un segment capable de l'angle donné décrit sur MN comme corde, et l'on en conclut que la tangente au point P à ce segment est la droite cherchée.

Il n'est pas besoin de faire remarquer l'élégance de ces résultats et la simplicité de la méthode géométrique qui les a donnés; j'observe toutefois qu'ils s'obtiennent par la voie du calcul d'une manière également facile (*), et, qu'à y regarder de près, la voie purement géométrique est moins rapide

(*) Bertrand, Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. I, p. 79.

qu'elle ne le semble loul d'abord. A l'égard du premier problème, par exemple, on a admis implicitement que PP' est infiniment petit du même ordre que MM', et il y aurait en toute rigueur lieu de le démontrer, ce qu'on fait du reste aisément. En effet, il suit de la construction du point P que les coordonnées X et Y sont des fonctions entièrement déterminées de celles du point M, ou seulement de son abscisse. Soit donc

en changeant x en x -\- h, on passera à la fois de M à M' et de P à P', dont les coordonnées seront

X'=<p(a:-h//) et r=-^{x^h),

et on en conclut que la distance PP' est donnée par un développement commençant à la première puissance de A, exactement comme MM'. On a en effet

PP'=v/{X'-X)'-i-(Y'-Y)'

= v^[>if(^) + i/*Y(x)+...r+[H'(-^)+i/*Ti^-)-^-...r

IV. Je terminerai ces préliminaires en remarquant qu'un exemple important d'un infiniment petit du troisième ordre est donné par la différence entre l'arc infiniment petit a, d'un

cercle de rayon R, et sa corde aRsin— ^j celte différence étant en effet

a — 2R sin ^=^

aR 24R*

J'observerai enfin qu'il revient au même de dire que deux infiniment petits a et [3 ont l'unité pour limite de leur rapport, ou un infiniment petit du second ordre pour différence. Si l'on a effet

on en tire

- = i-i- Aa -+-..., et limi- = i.

!'• Partie.

De même, en posanl

- = I -4- Aa -I-. . .,

on en conclut

S — a = Aa»-4-....

Fig.

Dérivée de l'aire d'une courbe plane.

L'espace compris entre les ordonnées PR, QS ijig. i6) et l'arc d'une courbe j'=f{x) est déterminé par les abscisses OR et OS; en supposante première constante, l'aire dont il s'agit est une fonction de l'abscisse 0S = ^, et nous allons en chercher la dérivée.

Or on voit, par la figure, qu'il faut pour cela obtenir la limite du rapport de la surface QSQ'S' à SS', qui est l'accroissement infiniment petit de l'abscisse; mais ici l'élément infinitésimal peut être remplacé par le rectangle QSQ"S' comme on l'a établi précédemment, et le rapport cherché devient immédiatement l'ordonnée QS=f{a:) qui représente ainsi la dérivée de l'aire.

Considérons en second lieu, à l'égard d'une courbe en coordonnées polaires, le secteur OPQ, où OP {^g. 17) est supposé fixe, comme une fonction de l'angle QOx = M qui détermine le rayon variable OQ = p; voici alors la substitution d'infiniment petits qui donne la dérivée. Décrivons du pôle comme centre avec OQ pour rayon un arc de cercle coupant OQ' en R, je dis que le rapport des surfaces infiniment petites OQQ' et OQR a pour limite l'unité. Considérant, en effet, les secteurs circulaires semblables OQ'R' et OQR, on aura à la fois

OQR<OQQ'<OQ'R',

Fig. 17.

ou bien

,^ OQQ' ^ OQ'R'.

^ OQR ^ OQR '

APPLICXTIOi"SS GÉOMÉTRIQUES. 99

mais, d'après la relation

OQ'R' QQ'' OQR -- ÔQ^ '

la limite de ce rapport étant l'unité, il en est de même de

— =-jr- • Remplaçant donc OQQ' par OQR dans l'expression du

rapport de l'accroissement de la fonction à l'accroissement de l'angle que je représenterai par r/w, la dérivée cherchée sera

Les deux fonctions dont nous venons de déterminer successivement les dérivées étant désignées par U et S, on en conclut, pour leurs différentielles, les expressions suivantes

et si l'on veut obtenir dS en coordonnées rectangulaires, il suffit de tirer des relations x = p cosco, jy'= psinw, cette valeur

r tan^w = -1

qui donne par la différenliation

r/w X dy — y dx

COS w X

et l'on en conclut

p* r/w = j: dy — y dx,

et, par suite,

rfS = \{x dy — y dx.

Notion de l'intégrale définie.

J'indiquerai immédiatement une conséquence importante delà relation qui vient d'être obtenue dV =f{x)dx. Cette relat'on prouve géométriquement l'existence d'une fonction dont la dérivée est la fonction quelconque/(.r), et, en raison de l'origine arbitraire du segment U, on voit qu'il y entre une constante arbitraire, conformément à cette proposition que deux fonctions ayant même dérivée ne diffèrent que pat- unie

lOO CALCUL MFFtmEKTIEL.

quantité constante. Enfin il y a plos, et de l'équation

PQRS = S/(x,)Aar„

nous allons déduire une définition analytique de la fonction primitive de/'(x). Considérons, à cet effet, parmi les divers modes de décomposition du segment en éléments rectangulaires, et qui tous conduisent à la même limite, le plus simple, où l'on diviserait en n parties égales à djc la base du segment. Dans ce cas, les quantités infiniment petites Aj:,- sont égales à dxf les abscisses des points de division sont x, = jr« + dxy X, = x,-H 2<ir,-. ., et la dernière, x, = x, 4-n<£r, représente X, de sorte que U devient la limite de la somme

Telle est donc maintenant, au point de vue du calcul, la définition de toutes les fonctions ayant pour différentielle f{x)dx. Cest en raison de ce mode d'expression par la somme des valeurs def{x)dx, que ces fonctions ont reçu le nom d'intégrales, et l'on introduit cette dénomination dans le calcul en employant la lettre y initiale du mot somme, de sorte qu'on pose

j/{x)^ = {/{x.)+/(x. + /£r)-H...+/[x,-i-(«-i)*ir]j*&,

et je rappelle que le nombre n, croissant indéfiniment, est lié à la variable x et à l'élément infiniment petit dx par la rebtion

Ajoutons enfin que, pour indiquer à la fois dans l'expression générale de l'intégrale de f(x)dx la variable x et la valeur particulière x», à partir de laquelle on fait commencer la somme, on écrit ces quantités en indice, de cette manière

rf(x)dx;

on a donc ainsi

\J=Ç'f(x)dx, et rfU=/(x)rfr.

De b résulte la notation d'une fonction de la variable x entiè-

APPLICATIONS GÊOMÊTIIQDES. lOI

rement déterminée, et dont la valeur pour x = jr„ par exem-

pie, sera représentée par i f{x)dx. C'est alors ce qu'

nomme une intégrale définie^ et il est évident, d'après ce qui précède, qu'on exprime par là l'aire du segment de la courbe y^f{x) compfis entre les ordonnées qui correspondent aux abscisses x = x,, x = .r,.

Dérivée d'an arc de courbe.

I. Considérons dans l'espace une courbe quelconque rapportée à trois axes rectangulaires, et ayant pour équations

La longueur s d'un arc compris entre deux points, dont les coordonnées sont x,, ^„ z* et x, y\ z, sera définie comme la limite du périmètre d'un polygone inscrit lorsqu'on fera décroître indéfiniment chacun des côtés. Prenant à cet elTét n points sur l'arc considéré à partir de l'origine (x,, jr», z,), et désignant les coordonnées de l'un quelconque d'entre eux par X,-, jTh ^h de sorte que x„ r», «, représentent les coordonnées X, r, z de l'extrémité, on aura évidemment pour la longueur du périmètre du polygone inscrit

ou plus simplement

en posant

Or, il faut maintenant supposer n croissant infiniment et, par conséquent, faire tendre vers zéro les quantités Ax„ A/,, Az„ ce qui va nous conduire à une nouvelle et intéressante

DEPARTMENT Of MMHEMATICS

UNIVEKSITY OF TORONTO

I02 CALCUL UIFFÉBENTIEL.

application des principes précédents sur les limites de sommes. Je dis en premier lieu que la limite du rapport suivant

Ajrv/i+-^'^(a;-)-t--|'^(.x-)

est l'unité pour A^=;o. C'est ce qu'on rend évident en le mettant sous la forme

A r A 2 car, ayant j=cp(^), z = i\i{x), les quantités -r^i -r— sont

respectivement égales à çp'(^) et ']^'{x) pour A^ = o. En vertu du principe sur la substitution des infiniment petits dans les limites de sommes, et en posant pour un instant

la longueur du périmètre deviendra donc

Or on retrouve l'expression analytique considérée précédemment; il en résulte que, dans tous les modes d'inscription, les quantités A^, tendant vers zéro, la limite de la somme sera toujours la même, et aura pour valeur l'intégrale définie

Il en résulte ensuite que la différentielle ds a pour valeur

ds = \j 1 -h ^''■'[x)-\- ■^'\x)dxi

et on a enfin cette conclusion que, dans une courbe quelconque, la limite du rapport d'un arc infiniment petit à sa corde est l'unité. Ce n'est effectivement que l'interprétation géométrique de la valeur obtenue pour ds, si l'on écrit

ds = v/i-t-^'^(j:) ■+- Y'{^) d^ — s/dx"^-^ dy'^~^ dz^,

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Io3

car s étant une fonction déterminée de x, ds représente, aux infiniment petits près du deuxième ordre, l'accroissement de s, et \/dx'-+- rf/'-h dz* la distance rectiligne des deux extrémités de l'arc auxquelles correspondent les coordonnées X, /, z, et ^ -h dx, y -h dy, z + dz.

II. Le cas des courbes planes rapportées dans le plan des xy à des coordonnées rectangulaires, et qu'il est important de remarquer, est donné par ce qui précède, en supposant la fonction '^{x) nulle, quel que soit x. On a alors, pour la différentielle de l'arc de la courbe j=: 9 (^),

ds =r y^i -H ^"(x) dx — \/dx^ -¥■ r/^',

et de là il est aisé de conclure, en posant ^ = p cosw, y = p sin w, l'expression relative aux coordonnées polaires

dx ~ yd^i'^-h p^doi'.

Effectivement, si l'on part de la relation

X -+-r^—i = p(cosw -+- sj — I sinw) — p« on obtiendra en différentiant

dx -(- dy\/— i — c^"^^ dp -f- \/^ pe"' ^~ doi = e" *^ {dp -+- yj — i p c/w) ,

et, par suite, en égalant les modules

dx'' -\- dy'^ ~ dp- -\- p'r/w'.

Ce résultat peut être directement établi comme il suit.

Supposons, pour plus de simplicité, un rayon vecteur fixe dirigé suivant l'axe polaire, et un autre OM = p [fie- '8) correspondant à l'angle w. La dérivée par rapport à w de l'arc AM = s s'obtiendra, si l'on mène le rayon vecteur OM'=p H- Jp faisant avec OM l'angle infiniment petit rfco, comme limite du rapport

arcMM' ,. 1 . j. >

— -, Or, en remplaçant, d après ce

Fifî. iS.

lo4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qui a été tout à l'heure établi, l'arc MM' par sa corde, on transforme le rapport proposé en un autre dont l'évaluation est facile. Effectivement, en menant MP perpendiculaire sur OM', on aura, comme on l'a dit page gS, § III, aux infiniment petits près du second ordre, OP = OM, par conséquent PM' sera dp; d'ailleurs MP=:psin(/&) = pû?c.), par une nouvelle substitution d'infiniment petits, de sorte qu'ayant

on en conclut

MM'=V^PM''-f- MP',

DU CONTACT GÉOMÉTRiaUE.

Les notions élémentaires de la tangente aux courbes et du plan tangent aux surfaces ont été l'origine d'une théorie dont le principe est dû à Lagrange, et où l'on envisage successivement le contact de deux courbes planes, de deux courbes dans l'espace, d'une courbe et d'une surface, et enfin de deux surfaces quelconques. Cette étude géométrique repose en entier sur la série de Taylor, dont on aura ainsi une application remarquable par sa généralité et son importance. Nous en exposerons l'idée essentielle en considérant d'abord le cas le plus simple, celui de deux courbes planes.

Contact des courbes planes.

I. Étant données deux courbes rapportées à des axes rectangulaires, nous concevrons que tous les points de l'une d'elles, ayant pour coordonnées X et Y, se déduisent, par une construction déterminée quelconque, des divers points de l'autre, dont nous désignerons les coordonnées par x et j-- Cela posé, notre objet est d'étudier, à ce point de vue général, la distance de deux points correspondants, c'est-à-dire la quantité à donnée par la formule

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Io5

En premier lieu, je vais montrer que ô esl fonction d'une seule variable. Soient en effet

les équations des deux courbes; dire que X et Y sont déterminés quand on donne x et j, c'est supposer entre ces quantités une relation telle que

F(^, j, X, Y)=o, d'où se déduira

et par conséquent X en fonction de x, de sorte que à s'exprime bien au moyen de la seule variable x.

On peut aussi, en se donnant les deux courbes par les relations

conclure que T est fonction de t. Par conséquent, si l'on garde cette seule variable en écrivant

la condition proposée qu'à tout point de la première courbe corresponde un point de la seconde, sera satisfaite d'ellemême. Ceci posé, je dirai qu'en un point déterminé par la valeur t = a, les courbes présentent un contact d'ordre n, lorsque la distance

deviendra pour t = a + h un infiniment petit d'ordre n ■+■ i par rapport à h.

II. La première conséquence à tirer de cette définition, c'est cette remarque deCauchy {Exercices de Mathématiques, année 1826, p. 191) que les différences X — ^ et Y — jsont infiniment petites l'une et l'autre d'ordre n + i. Soit en effet pour un instant

*(a -H //) - ^ {« -H //) = P -+- P'A -4- P7i'-+-. . .-H PW/*"^-. . . , ^■{a -f- //) - ^{a-h/i) = Q-hQ'h -h Q7i» -+-...-+- QW /i" -1- . . .,

la quantité

^ = [(P + v'h + P"A'-f-. . .)'+ IQ + Q'/i + Q"A' + . . .yf

ne sera infiniment petite qu'en s'évanouissani pour A = o, ce qui donne

et, par conséquent,

On aura donc

expression qui ne sera infiniment petite du second ordre qu'autant que le facteur compris entre parenthèses sera infiniment petit du premier, ce qui donne comme tout à l'heure

P'^-f-Q'2=o, ou bien P'=o, Q'=o.

Continuant ainsi de proche en proche, nous obtiendrons, pour le contact d'ordre n, les nn + i conditions

p = o, P'=o, P"=o,..., p(")=ro, Q = o, Q'=o, 0"-o,..., Q('') = o,

exprimant en effet que les différences X — x, Y — y sont infiniment petites d'ordre n + i. Il s'ensuit que si l'on change d'axes coordonnés, ces mêmes conditions se reproduisent. Faisant en effet

x' —. g -+- X cosa — rsina, y' — h -+- x sina + jcosa, X'= g'-i-Xcosa — Ysina, Y'= h -i-Xsina -+- Ycosa,

on en conclura ces nouvelles expressions

X' — x' = (X — j:)cosa— (Y — j)sina, Y'-j'= (X - x) sina-f-(Y - r)sina,

qui sont infiniment petites d'ordre n + 1 avec X — .r et Y — j.

111. Ce premier point établi, faisons un pas de plus et, au lieu de changer les axes coordonnés, remplaçons la variable 'f par une autre en posant

de sorte que l'expression de ô, étant en premier lieu devienne

Admettant qu'on ait 0 = apour t = a,\e disque si F(rt-l-/i) est infiniment petit du (w + i)''"" ordre par rapport à h, F[y(a -4- t )] sera un infiniment petit du même ordre par rapport à i. En effet, par hypothèse

¥{a-hh)= A//" ' ' -h B/i"+' -+-...,

et la relation

donne, en développant le second membre,

/'^t/'I^I+Aa*)^'

ainsU'on a

ce qui est bien un infiniment petit d'ordre n -+- 1 par rapport à /.

De cette remarque si facile à établir va résulter, par le choix convenable d'une nouvelle variable, une conclusion importante. Les équations des courbes étant

X=<i.(0, Y = W{t), nous poserons

(p(0 = 9, d'où 0 = X,

ol on pourra les écrire de cette manière en prenant x pour variable

Or je disque l'une des deux fonctions ^f(x) et F(:r) détermine la construction des points correspondants, et l'autre, par conséquent, la nature de la seconde courbe.

lo8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Figurons-les en effet toutes deux, et soient OP = x, MP =jr [Jig. 19) les coordonnées d'un point M de la première. L'abscisse OQ = X par exemple, qui détermine le point N correspondant à M dans la seconde, s'obtiendra d'après la relation X = ^(a:);

d'où l'on voit que la fonction ê[x) a bien

"j ^ ^ ^ cette signification, de définir le mode de

construction des points que nous avons nommés correspondants. Du nombre total des conditions obtenues pour le contact des deux courbes, la moitié se rapporte donc uniquement à ce mode de construction, ce sont celles qui expriment que, pour ^ := a -4- A, la différence

est un infiniment petit d'ordre n -\- 1 par rapport à //. Les autres, exprimant que

est un infiniment petit du même ordre, concernent essentiellementles deux courbespuisqu'ellesnechangenlpoint, comme on l'a vu, quand on change d'axes coordonnés. Elles donnent les équations suivantes

sous la condition que F(« + A) eif{a -f- A) puissent se développer par la série de ïaylor, h étant infiniment petit. C'est ce qui aura lieu si les n premières dérivées des fonctions F(^) elf{x) sont toutes finies pour x = a.

IV. Revenons encore un instant, afin de l'éclaircir par des exemples, sur la considération des points correspondants. Si l'on pose simplement

X = ^{X)— Xy

la différence X — ^ sera idenliquement nulle, et les condilions du contact ne concernent que les courbes. Ces points se trouvent alors deux à deux sur les mêmes ordonnées, et c'est ainsi que Lagrange a traité du contact dans la Théorie des fonctions analytiques, i' Partie, application de la théorie des fonctions à la Géométrie. Nous pouvons encore, en envisageant les normales aux divers points de la courbe y:=f{x), définir comme correspondants les points où ces normales rencontrent l'autre ligne; la quantité à sera alors un minimum, et l'on aura entre les coordonnées x et y d'une part, X et Y de l'autre, l'équation

Dans ce cas, la différence X — ^ n'est plus identiquement nulle^. mais on reconnaît qu'elle est nécessairement un infiniment petit du même ordre que Y — y, de sorte que les conditions du contact se réduisent comme précédemment à celles qui concernent les deux courbes, et toutes les relations de la

forme

(Y— 7)T(j:)-f-X — jr = o

conduiraient, quelle que soit la fonction 9(^), à la même conclusion.

En général, et lorsqu'on ne spécifiera point la fonction ^{x) qui détermine la construction des points correspondants, nous la supposerons néanmoins remplir toujours cette condition, que ^i^v) — X soit un infiniment petit d'ordre au moins égal à la différence des ordonnées Y[x)—f[x) pour ^ = aH-A.

V. Nous allons passer maintenant aux applications, et nous nous proposerons de déterminer la droite et le cercle dont le contact avec la ligne donnée/ :=f[x) soit de l'ordre le plus élevé possible. A l'égard de la droite

Y = aX-i-6,

on peut disposer de deux quantités a et 6, et par conséquent obtenir, en un point quelconque X =: j;, un contact du premier ordre qui exige les deux conditions

no CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Or ayant

F(x) =^ ax -^- h, d'où F'(j:) — «,

elles donnent immédiatement

a=f'{x), b=f[x)-xf'[x),

et l'on en conclut

Y=^f'[x)+f{x)-xf'[x),

dv ce qui reproduit, si l'on remplace /{x) par j elf'{x) par -j^»

l'équation de la tangente

A l'égard du cercle, on peut, avec les coordonnées du centre et le rayon, remplir les conditions

et obtenir un contact du second ordre. D'ailleurs, l'équation étant

on en conclut

v/R'-(^-fl)^ \/\F^—{x — a)^Y

d'où ces égalités

qui donneraient sans difficulté a, b, R. Mais la considération suivante mène à un calcul plus simple. Traitant l'expression Y =zY{x) comme une fonction implicite définie par l'égalité

dY d^Y j'observe que -r- et -r-^ s'obtiendront en la difFérentiant

deux fois de suite, et que l'on aura ainsi

/v AN^^Y fdYV .^ ,.d'Y

Les condilions du contact seront donc exprimées en rem-

dY d^Y plaçant dans ces relations Y, -t— ? -^-7» P^""/!^)» f'i^h

dy d*Y f'{x)y OU bien 7, -j--) -j—'» ce qui nous donne

d'où enfin

(Le d'x -^ d'y d^y

~dj^ dx" ~dx'

Ce cercle,, dont l'étude se présentera bientôt à un autre point de vue dans la théorie de la courbure, a reçu le nom de cercle osculateur de la ligne y := f [jc). El en général, toute courbe sera dite osculatrice à la même ligne, lorsque les diverses constantes qui déterminent sa nature et sa position par rapport aux axes coordonnés auront été calculées de manière à obtenir un contact de l'ordre le plus élevé possible. Une section conique, par exemple, contenant cinq coefficients, sera osculatrice lorsqu'elle aura un contact du quatrième ordre. Ici se place une remarque importante, c'est qu'on peut élever l'ordre d'une unité, en choisissant l'abscisse du point de contact. Par conséquent, sur une courbe donnée, yz=f[x), il existe en général un nombre fini et limité de points remarquables tels, qu'en ces points la tangente ait un contact du second ordre, le cercle osculateur du troisième, une section conique du cinquième, etc. La condition qui les détermine s'obtient comme il suit dans le cas de la droite et du cercle.

VL A l'égard de fa droite, elle est connue par les éléments, et l'on sait déjà qu'on en tire une notion géométrique importante, celle des points d'in/lexion^ Au point de vue de la théorie que nous exposons, elle s'obtient en joignant aux

deux équations dans lesquelles

F(^) = ax -+- b,

celle-ci

qui se réduit immédiatement à f"{x) = o. Relativement au cercle, je reprends les équations

(x-ay-i-{Y~b)' = 'R\ ^ /v /^^Y fdYy ,„ ,.d'Y

dont la dernière, difîérentiée par rapport à x, fournira la troisième dérivée -^-r- Or, en la mettant d'abord sous la forme

la différenliation fera disparaître la constante b, et donne pour résultai

dY/d'Yy r fdYyid'Y

^d^yix^) ~v^\dx) \'d^'~'''

Si l'on remplace maintenant l'ordonnée Y du cercle par celle de la courbe proposée j'=/(:r), on a immédiatement la condition cherchée

dx'

c'est-à-dire l'équation propre à déterminer les valeurs de x pour lesquelles il y a égalité entre les ordonnées et les trois premières dérivées des ordonnées de la courbe et du cercle. Soit, par exemple, l'ellipse a^j'H- ¥x^=z a?b\ nous trouverons facilement

dy ___bhç^ dy b* d^y Z¥x dx ~ a^y dx^ ~ a^y^ dx^ ~ a^y^ '

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Il3

l't, par suite, l'égalité suivante

qui conduit aux sommets de la courbe, comme on pouvait le prévoir.

VII. Je terminerai l'exposé de cette théorie parla remarque suivante, qui est souvent utile. Lorsqu'une courbe est donnée par deux relations

on peut directement calculer les coefficients de l'équation

de manière à obtenir, en un point quelconque t:= a, un contact d'ordre n entre les deux lignes. Soit à cet effet

il suffira de poser / = « dans ces équations

que je vais tirer directement des principes mêmes de la théorie du contact. Reprenant les relations

je rappelle que, pour t -— a + h , les différences X — :r et V — j doivent être infiniment petites du {n -h i)'*"" ordre par rapport à h, de sorte que l'on peut faire

X ~ X = ^{fi -h /i) — ff {a -h h) ~ xh"^' ■+■ p/i"+'' -+-

Y — j = w[a-hh) — -!^{a-¥- h) = a, //"+' ^- ;?•, /i"+»-4-

Cela posé, soit

l'équation qui résulte de l'élimination de t. Nous aurons identiquement

et, en développant par la série de Taylor étendue à deux va-

l'« Partie. g

Il4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

riables,

X p/v vx r-XdF {.T-XY d'F

Y - Y r/F f.r-XHr-Y^ rPF '^ 1 dY'^ I r/Xr/Y

Faisons mainlenani

X — 'f [ri -h /i) , f = -J^ [a -\- h), X = <I>(«-f-/0, Y = W{a-h/i),

le premier membre devient ainsi rfla-h A); dans le second, le premier terme F(X, Y) disparaît, l'expression F[0(f), ^{i)] étant identiquement nulle; on a d'ailleurs

X — .r = «//"+' + ph"+' + . . . , Y — r = a, //'+'+ S, /i"+^ + . . . ,

et il s'ensuit immédiatement qu'il est infiniment petit d'ordre n ■+- 1 par rapport à h. Par conséquent, tous les coefficients des diverses puissances de A jusqu'à la n'*"" disparaissent dans le développement de ^(« + h), ce qui donne bien, pour t = a, les relations

3' = o, -— = o, — 7-5-=o,..., — rr=o,

qu'il fallait démontrer. Comme l'équation ^it)r= o détermine les points communs aux deux courbes, on voit que la racine ï = a est multiple d'ordre « + i, lorsqu'elles ont en ce point un contact d'ordre n. Mais, sans m'arrêter à celte remarque, je vais appliquer ce qui précède au calcul des coordonnées du centre et du rayon du cercle osculateur (X — a)'+ (Y — P)^ = R' à l'ellipse représentée par les équations

x — acost, r = bs\nl.

On a alors

^[t) ={acost — a.Y-i-{bsiï\t — ^)'— R^,

\§'[t) = — asint[a cost — x) -h h cos t {b sm t — p) = ~ {a^ — b^)s\nl cost -i- ax sint — b^cost, ^0"{t) = — («'— ^»')(cos'/ — sin'/) -+■ a'/.cost -+■ bQsmf,

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Il 5

et les équations

ne renfermant que a et (3, donnent facilement

a = CO^'/, 6 = — 7 — Sin*/.

Nous en déduirons

R'=(rtCos/ cos'm -+-l^sin/— — ^ — sin'fj »

ce qu'on peut simplifier en observant que l'on a

fi^ — h^ cof^t acost cos*/ = {«'sin'/ -f- è'cos'f),

, . h* — a'' . . sin/ , , . , ,, , , ysin/ ; — sin'/ = — j— (rt'sm'/ -t-fo'cos'/ ,

de sorte qu'il vient en définitive

„, ( rt* sin' r -H i' cos' t y *^=- ~^^

En considérant le cas général de la courbe on trouverait

et, par conséquent, si l'on écrit simplement 9', cp", ... au lieu de 9' (0, ?"(/),...,

Lorsque la variable indépendante est l'arc de courbe, ce qui donne la condition 9" -f- tj/" = i , on a

Il6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et les quaniilés a el [3 peuvent être mises sous celle forme

qui est souvent employée.

Contact des courbes dans l'espace.

I. Deux lignes quelconques dans l'espace , et telles que tous les points de l'une se déduisent par une construction déterminée des points de l'aulre, sont représentées par ces deux systèmes d'équations, savoir

et la distance de deux points correspondants sera la fonction suivante de la variable t

= ![<i'(o-?(or+[^(o--Mor+[0(o-9(o]'A

Ceci posé, nous dirons, comme précédemment, qu'au point donné par la valeur t = a, ces lignes présentent un contact du n'^"" ordre, lorsqu'on posant i = « + A, la dislance è est infiniment petite d'ordre n h- i par rapport à h. De celle définition découlent ^es conséquences suivantes, déjà obtenues pour les courbes planes, et qui se démontreraient exactement de même :

1° Les trois différences

doivent être chacune infiniment petites de l'ordre w + i.

2° Ces conditions restent les mêmes si l'on change les axes coordonnés.

3" Elles subsistent encore si l'on change de variable indépendante, en posant / =f{6). Ainsi, en supposant qu'à la valeur f = a réponde 0 = a, et qu'on ait

ArPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. If]

si les qiianiilôs X — r, Y— j, Z — z et â sont infiniment petites d'ordre n-\-\ par rapport à h pour t = a-+-h, elles sont infiniment petites du même ordre par rapport à / pour 9 = or.-hi.

4° Prenant la coordonnée z pour variable indépendante, de sorte que les équations des deux courbes soient

X = ¥{z), Y = FAz), Z = ^{z),

In fonction !^{z) pourra être choisie pour définir la loi de correspondance de leurs points, et les conditions de contact, en ce qui concerne les lignes elles-mêmes, se réduisent lorsqu'on suppose ^{z) = z à celles-ci

et sont au nombre de an -t- 2.

Si ces principes de la théorie actuelle sont les mêmes que pour les courbes planes, les applications en sont moins étendues, et l'on ne considère que des lignes planes, la droite et le cercle^dont nous allons nous occuper.