II. Les équations de la ligne droite

X^aZ-hp, Y = bZ^q

contenant quatre constantes, on peut en disposer de manière à établir en un point quelconque Z = 2 un contact du premier ordre avec la courbe

ce qui exige les quatre conditions

■F(2)=/(2), F,(z)=/(r.), FV)=/'(2), F'.(3)-/'.(z).

Or, ayant F{2) = az -f-y?, F,( 2) = 6z -f- ^ , elles donnent

ij8 calcul différentiel.

immédialemenl

f[z)-zf'[z):=X-

in.'

et nous en concluons les équations

qui sont celles de la tangente en un point quelconque de la courbe proposée. On en déduit, pour les cosinus des angles a, j3, y de sa direction avec les axes des x, des y et des z, ces formules

dx COSa = -■>

y/r/jT^-f- dy'^-\- dz'

r dy dz

COSp = 1 COS7 —

yVZpH- dy ''■ -+- dz' ^dx' -+- dy'' -ir dz^

OU, en employant la différentielle de l'arc s de la courbe,

dx r dy dz

cosa =^ — -, cosp = -^5 cos7=-r* ds ^ ds ds

III. On peut d'une manière élémentaire parvenir à ces résultats, en partant des équations d'une droite qui passe par deux points de la courbe.

Si l'on désigne, en effet, par jr, y, z les coordonnées du premier point, par ^ -4- A^, j + Aj, z + A^ celles du second, ces équations sont

A ^ A y dx dv

et les rapports -r — , -r-^ ayant pour limites -r-) -r- lorsqu'on ^^ àz ù^z "^ ^ dz dz ^

rapproche indcfinimenl les deux points, on retrouve sur-lechamp les équations de la tangente. Mais celte méthode plus élémentaire ne met point en évidence que la dislance à la tangente d'un point de la courbe infiniment voisin du point de contact est infiniment petite du second ordre, ce qui résulte comme il suit de la méthode générale. Quelle que soit la dépendance entre les points des deux lignes, la distance d d'un point de la courbe infiniment voisin du point de contact à son correspondant de la droite est, par définition même, un infiniment petit du second ordre; par conséquent, la plus courte distance est-elle, à fortiori, du même ordre. En voici d'ailleurs le calcul.

Désignons par

les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, et par X -h h, j-h /r, z -{- 1 celles d'un point infiniment voisin qui correspond à la valeur t -h dt de la variable indépendante, de sorte que l'on ail en développant par la série de Taylor

h = ^[t + (lt)-^{t)= r^'{t)dt-i-f(t)-^-h...,

l=(i[t-\-(U)- Q{t)= Q'{t)di-i- f/it) — -^....

La distance de ce second point à la tangente, en écrivant ses équations sous la forme