X-x Y-Y Z—z est, d'après les formules connues

si l'on écrit, pour abréger, 9', ^', 0' au lieu de <f'{t), ^''(O» 6'{t). On en conclut immédiatement, au moyen des développements de A, Je, /, que l'on a, aux infiniment petits près d'un

ordre supérieur au second.

Mais il convieni de transformer celle expression, en niellant en évidence au lieu de dt l'élément de l'arc; employant à cet effet la relation

nous obtenons la formule

dont nous allons donner la signification , en l'appliquant d'abord aux courbes planes. Il suffit à cet effet de supposer la fonction z= 6{t) identiquement nulle, et l'on obtiendra

ou bien, en vertu de la formule établie page 1 15,

» ds'

R désignant le rayon du cercle osculaleur à la courbe proposée : X =^c^[t), y=<\i(l), résultat important, que l'on peut aussi déduire de considérations géométriques.

IV. La seconde application de la théorie du contact des courbes dans l'espace a pour objet la détermination du cercle osculaleur, ayant en un point d'une ligne quelconque un contact du second ordre. Six conditions sont alors à remplir, et l'on pourra en effet y satisfaire, un cercle étant déterminé dans l'espace parsix quantités, dont trois se rapportent au plan qui le contient, deux autres à la position de son centre dans ce plan, et la dernière enfin à son rayon. En le représentant par les équations générales d'un plan et d'une sphère

AX + BY + CZ H- D - o,

la première sera donc seule entièrement déterminée, et nous aurons ensuite à calculer les coordonnées du centre, a, S, y, et le rayon R par les formules suivantes. Soit, pour un instant, ô la distance du centre de la sphère au plan, c'est-à-dire

, A<7 -4- B/^ -t- Ce -H D

on aura d'abord

el l'on trouvera ensuite, par les formules de la Géométrie analytique, les relations

A(Aa-4-B*-t-Cc-t-D)

Bb-i-Cc -h

■^B'-hC

Bb-i-Cc-^

B'-hC^

qui donnent a, (3, y. Mais les coordonnées X et Y étant actuellement des fonctions implicites de Z, il est d'abord nécessaire de présenter comme il suit les conditions générales du contact d'ordre n entre deux courbes

au point Z = z.

Nous observerons à cet effet qu'en se donnant la seconde courbe par les relations

on formera, si l'on différenlie chacune d'elles n fois de suite par rapport à Z, un système de an -f- 2 relations entre cette variable et les quantités

' dZ' r/Z''"*' dZ"'

' rfZ' dZ'''"' dï?'

de sorte qu'on obtiendra précisément les conditions voulues en faisant, dans ces équations, Z =: z , puis

dX dx

dy

dZ ~ dz '

dl ~

~-tz'

dV ~ dz' '

dV ~

dz' ■

d"X d^ r/«Y dy dZ" dz" r/Z" dz"

Or, en posant pour un instant

cela revient à écrire

^,(z)=o, ^',(z) = o, rAz)=o,..., f:\z)=o.

J'ajoute, qu'en considérant une variable quelconque à la place de la coordonnée z, de sorte que nous ayons

les conditions précédentes conserveront la même forme. On démontrerait, en effet, comme pour les courbes planes, qu'en faisant

.f(/) = FL'f (0,1(0, ô(0],

elles deviennent

Soit donc, en écrivant, pour abréger, cp, 4"» ^ au lieu de

9(0,4^(0» Hn>

^'(0 = A<p-i-B^ + Ce + D,

Nous poserons, en prennier lieu,

c'esl-àrdire

J Ay H-B>-+-C9-(-D = o,

On en conclura que le plan du cercle osculaleur est donné par l'équalion

(or--y9"){x-<p)-H{'/o"-cY) (Y--}) -+-(■>'/- vr)(z-ô) = o,

ou plus simplement

A(X-'p)-(-B{Y-'j')-f-C(Z- 9) = o, riz fPj dy (fz

en posant

^ ^ dt di' dt dt^'

^ ^ dt dt' dt de

^^ ^^ r/^ r/f' r/f dt-"

En second lieu, nous formerons les conditions

elles donnent les équations suivantes

dont les deux dernières contiennent linéairement «p — «, 4" — 6, 0 — c, de sorte qu'en éliminant successivement une de ces trois quantités, on trouvera, si l'on pose, pour abréger,

-- ijî, -Clî--^)- A(ô — f), © = A{^î.-^)-B(?-«),

ces valeurs, où 5' est la dérivée par rapport à t de l'arc de

courbe,

Di, = {^"-h -Y' -^ ()")-y = - s"-y, G = ( '/' -h -y -h e'^) ô' = - s"o'.

Or, de là peut se conclure le rayon R du cercle osculaleur, en employant la relation déjà énoncée

Nous avons, en effet,

~ A'-hB' + C

et, par conséquent,

^, ^ [(y-a)V(^-^fH-(9-.,-r](A^+B^+C')~rA(y-«) + B(4>-6) + C(e-c)]V

Mais, en décomposant le numérateur en trois carrés, et d'à près les expressions de X, Di», Q, on voit immédiatement qu'on peut écrire

"" A'-hB'-i-C ' d'où

Nous retrouvons ainsi la quantité précédemment obtenue dans la recherche de la distance à la tangente d'un point d'une courbe infiniment voisin du point de contact, et l'on

voit que l'expression de cette dislance par la formule — jra la

même signification géométrique que pour les courbes planes. Déterminons maintenant les coordonnées a, [3, y, en employant les formules de la page 121, transformées comme on va voir. Considérant, par exemple, la première

A(A« + B/>> + Cr + D) « «-— A'+B^H-C '

nous l'écrirons d'abord ainsi

d'où

A[A(a - <p) -H B( A - ;}/ ) 4- C(r - G)] ,p a=cp-«-H A-+B--4-C»

(y-fl)(A'-^-B'-+-C')+A[A(r?-(p)-^-B(6-^i/)-^-C(c-9)] ~ A' -t- B' H- 0="

Il s'ensuit que l'on a expliciiemenl, au moyen de la variable /,

Cit'o-Ba

^~''~ A'-f-B' + C' el de même

B«A<,-A'\ft>

Une dernière simplification résulte enfin de ce qu'on peut faire

cift, - BG = .v"[(.p'e''-9>")ô'-(f <p"- <ï.'-y')f ]

et pareillement

Nous en concluons en effet, en employant la formule

.•'fi

A^-hB^H-C

ces expressions définitives

X— pY — (tZ — ô ,.

'*^ On donne à la droite -■=■ = le nom de normale prin-

Elles se simplifient si l'on suppose que la variable indépendante soit l'arc de la courbe; on parvient alors, en effet, aux valeurs suivantes

a=<p(.)4-RY(,),

M^(.0 + RT(-v),

qui définissent, dans l'espace, le lieu des centres des cercles osculateurs de la courbe proposée

Mais je ne m'occuperai pas ici de celle ligne, qui serait précisément la développée si la courbe était plane, j'indiquerai seulement pour l'élément de l'arc

ch = \/do? ^ d'-/ H- df cette formule très-simple, découverte par M. Molins,

"'-vc^y-i")'-

où figure une quantité r qu'on nomme le rayon de torsion, et qui nous occupera plus tard.

V. Après la ligne droite, intersection de deux plans, et le cercle, intersection du plan et de la sphère, la courbe qu'il

cipaleh. la courbe j: ::= ç;(^), ^ = '^(f ), z= 6{t). Elle est en effet perpendicu-

X— o Y — li 7. — e laire à la taiifrente ; — =^ ; — = — — — » la condition

{v.— o)z>' -i-(, ^ — 'P)f -i-{y — 0)0' — o étant identique en A^ertu des valeurs de a, y3, y; car elle se réduit à celle-ci

qui devient simplement, en prenant l'arc pour variable indépendante,

Dans cette hypothèse, les cosinus des angles ^, vj, Ç de sa direction avec les axes seront

cosf=R55", cosv7 = R^, cosÇ = R9".

semblerait le plus naiurcl de considérer serait rinlerseclion de deux surfaces du second degré

F(X,Y, Z) = «X'-h^Y'-i-fZ'-f-... = o, F,{X, Y, Z) = AX' -+- BY' -h CZ' + . . . = o.

Chacune de ces équations renfermant neuf coefficients arbitraires, au premier abord on pourrait croire possible, en supposant Z ■= 2, de les déterminer par ces dix-huit conditions

rfx ^,, , d'y. f„, . ^/»x

d'où résulterait avec la ligne proposée x=zf{z), y ^=f^ [z] un contact du huitième ordre. Mais on peut atteindre seulement au septiènoe, en raison des mêmes circonstances qui ne permettent point d'obtenir pour la ligne droite un contact du second ordre, bien qu'elle puisse être représentée par les

équations

^/X-f-Z'Y-i-cZ-hrf= o,

AX-hBY-4-CZ-+-D = o,

renfermant six coefficients indéterminés. Afin de bien éclaircir ce point, représentons encore la courbe par les relations x:= (p(/), j= 4^(0' ^ — ^(0> et en faisant comme plus haut

''^ = F[î(o, -MO. mi '^-F,[?(o, ^(0, 6(0],

posons les dix-huit conditions

^ = 0, ,r==o, ,f"=o,..., jw = o,

Je remarque que les neuf équations qui se rapportent à la fonction 'f (2) delermmeront séparément les rapports --, -5-">

et que les neuf autres, ayant absolument les mêmes coefficients