ui. . , B 6 C c

pour les mconnues, obligeront de prendre — = -»— = -,•••»

ri. Cl Jx et

ce qui fera coïncider les équations

En conséquence, nous poserons seulement seize conditions, savoir

Les premières donnant a, h, c,. . . en fonction linéaire homogène de deux indéterminées X, p., on en déduira cette expression

où 0 et T sont des polynômes entièrement déterminés. Le second groupe conduira pareillement à écrire , avec deux autres constantes arbitraires V, /ut',

or le système des deux équations

/* + aH' = o, V* -f- pi'M ■= O

se réduit immédiatement à celui-ci

qui donne une courbe ayant un contact du septième ordre avec la proposée.

VL Revenons encore aux équations de la tangente, pour considérer le cas où la courbe serait définie par deux relations entre les coordonnées

/(•^,j»z) = o, yi(-^,j, 2) = o.

Envisageant alors x et j comme des fonctions de la variable z,

iix dv on obtiendra les dérivées -t-? -^par les équations suivantes

que donne la règle de dérivation des fonctions composées

df dx df dy ^{f __ dx dz df dz dz '

'iL'll -fl'iL 'Mldx dz dy dz dz

On en lire

dr

dz dy

~ dy dz

dz '

dy dx dl df,

<£di:

dx dy df df,

dy

dx dz

dz dx

dz'

~ dfdf, dy dx

dldf^dx dy

ce qui donne, pour les équations cherchées,

dz dy dy dz de dz dz dx dy dx dx dy

Enfin , remarquons que le calcul précédent revient à éli-

dx dy miner les rapports ^- 5 -j-» ou plutôt les différentielles dx,

dy, dzy entre les équations homogènes

dx dy dz

' df . df , df ,

-j- dx -h -j- dy -h -j- dz = o, dx dy "^ dz '

df, , df, , df .

~P dx -h ~i dy -h -~ dz = o,

dx dy -^ dz '

de sorte qu'en tirant des premières équations ces différentielles pour les porter dans les deux autres , on sera amené à définir la tangente par ces deux nouvelles relations, savoir

Elles mettent en évidence une conséquence importante; car le plan donné par la première, par exemple, restant le même quand on change la seconde équation de la courbe, doit contenir toutes les tangentes au même point { x, y, z ) aux courbes d'intersection de la surface

l'« Partie. O

l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

par une autre surface absolument arbitraire

c'est l'équation générale du plan tangent que nous retrouverons bientôt sous un autre point de vue et par une autre méthode.

Je terminerai ce qui concerne les tangentes aux courbes dans l'espace par la définition du plan normal. On nomme ainsi un plan perpendiculaire à la tangente et passant par le point de contact. Les formules de la Géométrie analytique donnent, d'après cela, pour son équation

(X - x)dx-{- (Y — j)r//-i- {Z — z)dz = o,

et comme on a les relations

df

df

df

dx -¥- -j- df + -j- dz = o,

dfi j df df

-f-^ dx -h -p- dr -\- -y^ dz — o ,

dx dy -^ dz '

ce plan est représenté par le déterminant à trois colonnes

dx dx

•^ dy dy

«gale à zéro.

dz dz

Contact d'une courbe et d'une surface.

I. Cette théorie n'est qu'un corollaire de la précédente; «lie s'en déduit par une considération extrêmement simple, amenée par la remarque suivante.

Soient dans l'espace deux courbes représentées par les équations

X = F(Z), Y = F,(Z), les conditions pour qu'elles aient en un point Z = z un cpn-

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l3l

laci d'ordre n se sont offertes en premier sous cette forme

F(«)(z)=/(-)(2), ¥[-){z)=fi'')(z).

II a été ensuite établi qu'en se donnant la seconde courbe par les équations

F(X, Y, Z) = o, F,(X, Y, Z)=o, et faisant

^.{^) = F.[/(z),/,(z), z], on devait poser

El si l'on considère enfin une variable quelconque à la place de la coordonnée z, de sorte que nous ayons

•r = î(0, x = -^(f), 2 = 0(0, ces conditions gardent la même forme, car, en posant

^{0 = F[t(/),^K0,9(0L ^.(0 = f,[^(0, 4(0,^(0], elles deviennent

Ceci rappelé, imaginons qu'en conservant l'équation

F(X,Y,Z) = o, on change lautre

d'une manière quelconque, mais en remplissant toujours les conditions de contact d'ordre n. Il est clair que nous pourrons envisager là première surface comme le lieu d'une infinité de courbes présentant au point Z = 2 un contact d'ordre n avec la ligne proposée

X=:/(Z), X=MZ).

l32 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

De là se tire la notion géométrique à laquelle nous voulions parvenir; nous dirons, en effet, que l'équation

représente une surface ayant avec la courbe un contact de cet ordre, et nous ajouterons immédiatement à sa définition analytique la remarque suivante.

Considérant sur cette courbe un point infiniment voisin du point de contact et donné par la valeur z + /t de cette variable indépendante, on sait que sa distance au point correspondant de la ligne représentée parles équations

est infiniment petite d'ordre n -t- i par rapport à li d'après sa définition; par conséquent, et à fortiori, la plus courte dislance de ce point à la surface F(X, Y, Z)=: o est-elle infiniment petite de cet ordre.

II. La théorie qui vient d'être exposée reçoit deux applications principales. La première concerne le plan dont l'équation renferme trois constantes, de sorte qu'on peut établir un contact du second ordre entre cette surface et une courbe quelconque

•^ = 'i'(0> J = -MO> 2 = 6(0-

Or en posant

F(X, Y, Z) = AX -^ BY + CZ + D, et

on est précisément amené à ces équations

^"(f)=A<p"+By-HCô"=o, et aux valeurs

A = Ô'f - ^î>'9", B = ç'ô"- e>", C = 4/'«p"- '^'Y, obtenues dans la détermination du plan du cercle osculateur

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l33

(p. 123). Sous ce nouveau point de vue, et en entrant ainsi dans la théorie actuelle, ce plan a été nommé oscillateur, l'ordre du contact étant aussi élevé qu'il est possible, d'après le nombre des coefficients qui entrent dans l'équation générale.

Il s'augmentera toutefois d'une unité, si l'on a

et pour que cette nouvelle condition s'accorde avec les précédentes, il faudra que le déterminant

soit nul. L'équation A = o permet donc d'obtenir sur la courbe un nombre fini et limité de points, pour lesquels le plan osculaleura un contact du troisième ordre. Il reçoit alors la dénomination particulière de stationnaire, qui lui a été donnée par M. Cayley. En posant enfin A=:o, quel que soit t, on a la condition pour que tous les points de la courbe soient dans un seul et même plan.

Supposons en effet, pour plus de simplicité, 0(/) = /, de sorte que, z devenant la variable indépendante, les équations de la courbe soient *

Nous trouverons alors

et la condition A = o, en divisant par 4'"S prend cette forme

d'eu l'on conclut

. ff - \ Il

a désignant une constante arbitraire. Il en résulte ensuite bien aisément

puis enfin

c'esl-à-dire

tp = «ij; -\- bz -{- C,

X = aj -h bz -i- c,

de sorte que la courbe proposée est effeclivemenl tout entière dans un même plan.