III. La seconde application concerne la sphère, osciilatrice

dont le contact sera généralement du quatrième ordre. Pour obtenir avec plus de simplicité l'expression des coordonnées du centre et du rayon, nous supposerons que la variable indépendante soit l'arc s de la courbe, de sorte qu'en écrivant

on ait la relation

Cela posé, soit encore

S{s) = \'^[s)-aYH-m.s)-bY^ms)-cY-^\

ou, plus simplement,

§[s) = ('^ — ay+ (-^ - ^)^+ (9 - f )'- R^ on aura

li"[s) = (<p - «)>"+ (•} - 6)^'+ (9 - C) &"+ ^'^+ ^P'^-f- d'-' ,

et, d'après la supposition faite sur le choix de la variable indépendante,

Il en résulte pour la dérivée suivante, en remarquant que la condition admise

donne par la différentiation

cette valeur

ii"\s) ^{9- «)?"'-4- (-i - b)r+{0 - c)6"

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l35

Or des équations

(^ a) f"-h {^ - A)-r+ (« - 0 0"'= o on tirera, en employant le déterminant A considéré plus haut,

(^-rt)A = 9'f"--f9"', (^|/-6)A = (p'e'"— 0'<p'",

ce qui détermine les coordonnées du centre a, b, c, que l'on peut encore écrire, au moyen des coefficients du plan osculaleur, sous cette forme

Nous obtiendrons ensuite le rayon par l'égalité

^(.v)= (^rt)'H-(.^é)»-<-(e c)'-R'=o; car ayant ainsi

il viendra immédiatement

ou encore, d'après une identité bien connue,

WMÎ

Nous ferons bientôt usage de ce résultat dans la théorie de la courbure.

IV. Je terminerai la théorie du contact d'une courbe et d'une surface, en faisant une application de cette notion géométrique nouvelle du plan osculateur. Considérant une courbe donnée par les équations

je me propose, en plaçant l'origine des coordonnées en un point quelconque correspondant à la valeur / = a, de la rap-

l36 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

porter au plan osculaleur en ce point, comme nouveau plan des XY, puis à la tangente et à la normale pour axes des X et des Y. Mettons à cet effet a-i- t au lieu de /, de sorte qu'on ail, par la série de ïaylor,

le déplacement d'origine s'effectuera d'abord en posant

Cela fait, j'emploierai les trois transformations successives que voici, d'axes rectangulaires en d'autres axes rectangulaires situés dans le même plan :

1° Dans le plan des ri 2,, en faisant

Xi = Ji cos). — z, sinX, ^2 -^ Ji sin)v -H z, cos).,

et disposant de l'angle 1 de manière à faire disparaître le coefficient de / dans l'expression de z,,; 2° En faisant, dans le plan des ^rjTî»

,r^ = X| coSjU — jj sina, ^3 = JT, sinw-f-j^cosfA,

et disposant de ^jl de manière à faire encore disparaître le terme en t dans n;

3° En faisant enfin, dans le plan des X3Z2,

x^ = j\ cosv — Zj sinv, z^ = y^ sinv -+- Zj cosv,

et déterminant l'angle v de sorte que z^, déjà privé du terme du premier degré en t, perde le suivant en P.

Cela fait, si l'on désigne, pour plus de simplicité, par X, Y, Z les nouvelles coordonnées ^4, J3 et 2<, leurs expressions, développées suivant les puissances de t, auront évidemment

celle forme

applications géométriques. l3']

Y = B/»-hBV^...,

Par conséquenl, à une dislance infinimenl pelile de l'origine correspondanl à une valeur infinimenl pelile du premier ordre de t ou X, on voil que Y sera du second ordre el Z du troisième; donc l'axe dos X est bien une tangente, el le plan des XY le plan osculaieur.

Si l'on suppose de plus, comme il y a lieu de le faire dans plusieurs circonstances importantes, que t soit l'arc de la courbe compté à parlir de l'origine, et qu'on fasse, comme précédemment, t=^s, on aura

ou bien

(A-^2A'.v + 3AV + ., el l'on en conclut

.)V(2B.v-+-3BV-+-,

o, 4A"^6AA''^4B'=o,...;

par conséquenl, A = i, car on peut changer X en — X, A' = o, A"= — |B% résultats que nous emploierons bientôt. Soit, comme exemple, l'hélice qui a pour équations

« sin - ) y ~ a cos - ■,

la variable s étant bien l'arc de la courbe, car on a identiquement

En faisant j = rt + Y, et développant en série, nous aurons

X — Is — Y=-

l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

de sorte qu'une seule transformation d'axes conduira au résultat. Soit / = sinX, nous poserons

X= j:sin>. -I- zcosX, Z — .rcosl — zsinl,

ce qui donnera en effet

sin^X 6«'

2rt

cosXsin

Ces expressions, rapprochées de celles qui viennent d'être données pour une courbe quelconque, savoir

montrent qu'en posant

sln'X

l'hélice aura à l'origine un contact du second ordre avec la courbe. El si le coefficient B' s'évanouit, ce qui généralement aura lieu en un nombre fini et limité de points d'une ligne donnée, on pourra, pour chacun de ces points, obtenir une hélice osculatrice ayant avec la courbe un contact du troisième ordre. En effet, si l'on détermine a et X par les conditions

sin'A

cos)^sin''>.

les développements en série des trois différences X — x, Y— j, Z — z, suivant les puissances croissantes de la variable s, commenceront seulement aux termes du quatrième degré. Or on a vu que ce sont là précisément les conditions du contact du troisième ordre à l'égard de deux lignes dans l'espace.

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l3^

Contact des surfaces.

I. Une surface élani définie par l'équation ¥{x, y, z) = o, les coordonnées d'un quelconque de ses points seront des fonctions de deux variables différentes, et devront s'exprimer de cette manière

Et si nous considérons une seconde surface dont tous les points se déduisent par une construction déterminée de ceux de la première, leurs coordonnées seront représentées pareillement par ces expressions où figurent les mêmes variables indépendantes t el ii

Cela étant, la théorie du contact repose encore sur la considération de la fonction è=f(t, u), qui donne la distance de deux points correspondants, savoir

*=[(x-x)'H-(Y-j)'-H{z-2rr

et nous dirons qu'en un point donné par les valeurs < = «, u=zb, les surfaces ont un contact du «''""ordre, lorsqu'on posant t =1 a -h h, u = b -{- If, \a distance d est infiniment petite d'ordre n +i par rapport à A et k. Mais il faut tout d'abord préciser ce que l'on entend par l'ordre d'un infiniment petit par rapport à deux autres. Nous imaginerons à cet effet que h et /» dépendent d'une seule variable, en faisant par exemple k= uh, et supposant w fini. Cela posé, la quantité

pourra se développer en série suivant les puissances crois-^ santés de A, et il sera désormais entendu qu'elle est infiniment petite d'ordre n -h i, lorsque indépendamment de toute valeur attribuée à w, les coefficients des puissances de li jusqu'à la n'**' seront tous nuls. En admettant ce principe, on déduira sur-le-champ de la définition de l'ordre du contact à

l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

l'égard des deux surfaces, ces conséquences qu'il suffit d'énoncer :

I" Les trois différences X — ^, Y — y, Z — z doivent être chacune infiniment petites de l'ordre n -\~i.

1" Ces conditions restent les mêmes en changeant les axes coordonnés.

3° Elles subsistent si l'on change de variables indépendantes, en posant

Ainsi, en admettant qu'à t v = ^, et que l'on ail

a, Il =z b répondent r =

si les quantités X — x, Y — y, Z — z sont infiniment petites d'ordre n + i par rapport à h et k, elles seront infiniment petites du même ordre par rapport à i elj.

4" Prenant d'après cela pour variables indépendantes les coordonnées :r et j, de sorte que les équations des surfaces

deviennent

une des trois fonctions r\', -T,, F détermine la nature de la seconde surface, les deux autres, ^ et r^, par exemple, la loi de correspondance de leurs points, et les conditions relatives aux différences X — de, Y — y caractérisent les lois de correspondances compatibles avec la définition de l'ordre du contact. Quant aux conditions concernant les surfaces elles-mêmes, elles se déduisent des développements que donne la série de ïaylor étendue à deux variables, savoir

(IF (ta

(la

d\\h 'dbjl