II. En premier lieu, nous envisagerons le plan

Z = aX-hbY -hc,

dont l'équation renferme trois coefficients, de sorte que l'on peut, comme pour la ligne droite à l'égard d'une courbe, obtenir, en un point quelconque

un contact de premier ordre avec toute surface z=f{xjy).

Ayant en effet les conditions

F(X, Y) = aX ^ bY -i- c,

donnent innmédialement

z — ax -^

(h dx

"~ dy^

et l'on retrouve ainsi l'équation déjà obtenue du plan langent sous la forme

Nous remarquerons, avant de faire les applications de ce résultat, qu'en supposant parallèle au plan coordonné des XY le plan tangent en x, y, z bi la surface z =f{x,y), on a nécessairement

dx ^ dy ~ '

Et si le plan des XY est lui-même langent à l'origine des coordonnées, la fonction /(^, y) ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre s'annuleront pour 57 = 0, j=o, de sorte que le développement par la série de Maclaurin de l'ordonnée z suivant les puissances croissantes de x ei j- commencera seulement aux termes du second degré, et sera de la

forme

z == ax'-+- b xy -h cy'' -h dx^ •+- ex^y -{-....

De là se déduirait que la dislance au plan tangent d'un point d'une surface infiniment voisin d'un point de contact est un infiniment petit du second ordre. Mais d'une manière plus générale, comme par définition la distance 6 de deux points correspondants A et B de deux surfaces, infiniment voisins de leur point de contact, est infiniment petite d'ordre n+i lorsqu'elles ont un contact du n''"" ordre, il en résulte à fortiori que la plus courte distance du point A de la première surface à la seconde, est aussi infiniment petite du même ordre.

Observons enfin qu'en supposant z une fonction implicite déterminée par la relation

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ll^i

réqualion

reprend la forme sous laquelle nous l'avions précédemment obtenue (p. 129). On a en elîet

df dz df dz dx dx

df dz df dz dy dy

d'où l'on tire

dz dx di~~7(f"

dz dy

dy~ df

et en substituant il vient

Nous en conclurons pour la normale à la surface, c'est-à-dire la perpendiculaire élevée en x, y, z au plan langent, les équations

d£ - df - a '

dx dy dz

en supposant que les axes coordonnés soient rectangulaires.

m. Soit pour première application les surfaces données par

l'équation

f[x — oz, y — bz) = o,

OU plus simplement

/{«, ^) = o, en posant

a = x—az, p=y — bz.

On tirera de là

dx doi dy dp dz dx dp

de sorte qu en reuiiissant les termes en ^T-et -j^» lequaiion

doc ap

du plan tangent devient

l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Ce résultat fait voir que, quelle que soit la fonction /(a, (3), ce plan contient la droite

Effectivement, l'équation proposée est celle des surfaces cylindriques, et le calcul met en évidence celte propriété du plan tangent, de contenir la génératrice qui passe par le point de contact.

Nous considérerons en second lieu les surfaces coniques, qui sont données par l'équation

/('^, P) = o, en posant

On aura alors

I fff <lf

df clf

X — a df y — b df

dx z — c dot. dy z — c d^ dz [z— cY dx [z — cY d^ et, par suite, pour l'équation du plan tangent, après avoir supprimé le facteur -,

Il contient donc encore la génératrice qui passe par le point de contact.

En dernier lieu, les équations de la normale aux surfaces de révolution

en faisant

seront

Ji-x Y-j Z-z

îx/'(a)-2j/'(a)-/'(fl)'

et les deux premières se réduisant à — = — > il en résulte

que cette droite est dans le plan déterminé parle point (^,r) 2) et l'axe des 2, qui est l'axe de révolution de la surface.

IV. Une surface reçoit le nom d'osculatrice, lorsqu'on a disposé de toutes les constantes qui fixent sa position et dé-

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l45

lermineni sa nature, de manière à obtenir, avec une surface donnée, le contact de l'ordre le plus élevé possible. C'est là, comme on voit, l'extension naturelle de la notion qui s'est offerte dans la théorie du contact des courbes considérées sur un plan ou dans l'espace, et qui a reçu, dans le cas du cercle, une application d'une grande importance. Mais toute surface ne peut point devenir osculatrice d'une autre, comme toute courbe plane, quelle qu'elle soit, d'une ligne donnée. Il faut en effet que le nombre des constantes à déterminer soit un terme de la série

de sorte qu'il n'y a ni sphère, ni surface du second degré osculairices, puisque leurs équations générales renferment respectivement 4 et 9 coefficients. En général, une surface du

( w -h I ) ( m -h 2 ) ( m H- 3 ) m'""' degro en contient ^ ^ — i, ce qui

conduit à poser l'équation

dont il y aurait lieu ainsi de rechercher toutes les solutions en nombres entiers et positifs pour m et n. Mais l'Arithmétique supérieure ne donne à cet égard aucune méthode, et je me bornerai à remarquer qu'on y satisfait, par les moindres nombres, en prenant m = 5 et « = 9. Il n'y a donc aucune surface algébrique, de degré inférieur à 5, pouvant être osculatrice, de sorte que la théorie actuelle ne semble pas applicable au delà du plan et du contact du premier ordre. La considération suivante permettra cependant d'aller plus loin. En disposant des deux coordonnées d'un point d'une surface, on peut en effet ajouter deux constantes à celles qui déterminent une sphère, et par conséquent la rendre en ces points osculatrice du second ordre, puisqu'on aura le nombre voulu de six quantités arbitraires. En disposant d'une seule des coordonnées, on ajoute une arbitraire aux neuf coefficients d'une surface du second degré, ce qui permettra de la rendre oscu-

l'« Partie. lO

l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lalrice du troisième ordre, non plus alors en un certain nombre de points, mais, comme il le semble au premier abord, tout le long d'une ligne déterminée d'une surface quelconque. Nous allons traiter ces deux questions.